TESE: [tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{m}{n}[/tex3]
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[tex3]\frac{x}{a}=\frac{y}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{a}{b}[/tex3] usando uma propriedade de proporções teremos o seguinte:
[tex3]\frac{x+y}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3] (1)
note agora que [tex3]x+y=c[/tex3] (2)
fazendo (2) em (1)
[tex3]\frac{c}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3] (3)
Note agora no [tex3]\Delta BCD[/tex3] que se traçar-mos [tex3]EC[/tex3] , ela também será bissetriz já que encontra o incentro. Pelo teorema da bissetriz interna em BCD temos:
[tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3] (4)
comparando (3) e (4) teremos o seguinte:
[tex3]\frac{a+b}{b}=\frac{c}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{b}{y}[/tex3] (4)
temos também que [tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{b}{y}[/tex3] (5)
substituindo (4) em (5) temos
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{a+b}{c}[/tex3] forte abraço
