Demonstrações(Demonstração) Teorema do incentro

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jvmago
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Set 2018 05 15:45

(Demonstração) Teorema do incentro

Mensagem não lida por jvmago » Qua 05 Set, 2018 15:45

Fui ler um pouco sobre geometria aqui e me deparei com um dos infinitos casos em que a aplicação do teorema do incentro torna o problema trivial então vou adicionar essa demonstração aqui no fórum.

TESE: [tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{m}{n}[/tex3]
geogebra-export (5).png
geogebra-export (5).png (55.51 KiB) Exibido 355 vezes
Seja [tex3]E[/tex3] o incentro do [tex3]\Delta ABC[/tex3] , podemos afirmar com certeza que [tex3]BD[/tex3] é bissetriz. Pelo teorema da bissetriz interna em ABC temos:

[tex3]\frac{x}{a}=\frac{y}{b}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{a}{b}[/tex3] usando uma propriedade de proporções teremos o seguinte:
[tex3]\frac{x+y}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3] (1)
note agora que [tex3]x+y=c[/tex3] (2)

fazendo (2) em (1)

[tex3]\frac{c}{y}=\frac{a+b}{b}[/tex3] (3)

Note agora no [tex3]\Delta BCD[/tex3] que se traçar-mos [tex3]EC[/tex3] , ela também será bissetriz já que encontra o incentro. Pelo teorema da bissetriz interna em BCD temos:

[tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3] (4)

comparando (3) e (4) teremos o seguinte:

[tex3]\frac{a+b}{b}=\frac{c}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{a+b}{c}=\frac{b}{y}[/tex3] (4)

temos também que [tex3]\frac{m}{b}=\frac{n}{y}[/tex3]
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{b}{y}[/tex3] (5)

substituindo (4) em (5) temos

[tex3]\frac{m}{n}=\frac{a+b}{c}[/tex3] forte abraço

Última edição: jvmago (Qua 05 Set, 2018 15:47). Total de 2 vezes.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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