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Façamos inicialmente [tex3]x=m+n[/tex3] , [tex3]AF=a[/tex3] e [tex3]GC=c[/tex3] . Se [tex3]ML=x[/tex3] então [tex3]KL=h-x[/tex3] .
Observando com cuidado é possível ver várias semelhanças [tex3]\Delta BHD'[/tex3] ~[tex3]\Delta GHC[/tex3] e [tex3]\Delta BED'[/tex3] ~[tex3]\Delta EFA[/tex3] .
Começando por [tex3]\Delta BHD'[/tex3] ~[tex3]\Delta GHC[/tex3] teremos:
[tex3]\frac{h-x}{x}=\frac{n}{c}[/tex3]
[tex3]ch-cx=xn[/tex3] (1)
Agora com [tex3]\Delta BED'[/tex3] ~[tex3]\Delta EFA[/tex3]
[tex3]\frac{h-x}{x}=\frac{m}{a}[/tex3]
[tex3]ah-ax=xm[/tex3] (2)
Somando (1) e (2) obtemos:
[tex3]ch-cx+ah-ax=xn+xm[/tex3] a princípio essa equação não diz nada mas observem as manipulações
[tex3]x(m+n)=ch+ah-(cx+ax)[/tex3]
[tex3]x(m+n)=h(c+a)-x(c+a)[/tex3]
Olha, [tex3]m+n=x[/tex3] OK mas se você olhar o desenho, [tex3]a+c=b-x[/tex3] agora acabou
[tex3]x*x=(h-x)(c+a)[/tex3]
[tex3]x^2=(h-x)(b-x)[/tex3]
[tex3]x^2=x^2-(h+b)x+bh[/tex3]
[tex3]x(b+h)=bh[/tex3]
[tex3]x=\frac{bh}{b+h}[/tex3] Forte abraço senhores
Vale lembrar que a demonstração para o caso de um retângulo é feita de maneira análoga
