DemonstraçõesDemonstração - Identidade de Gauss

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jvmago
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Abr 2018 06 20:54

Demonstração - Identidade de Gauss

Mensagem não lida por jvmago » Sex 06 Abr, 2018 20:54

Tese: [tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2][/tex3]


Fazendo [tex3]A=a^3+b^3+c^3-3abc[/tex3] completaremos quadrados:

[tex3]A=a^3+3a^2b+3ab^3+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc[/tex3]
[tex3]A=(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc[/tex3]

Colocando [tex3](-3ab)[/tex3] em evidência temos:

[tex3]A=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)[/tex3]

Notando que [tex3](a+b)^3+c^3[/tex3] é uma soma de cubos podemos fatora-lo

[tex3]A=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)*c+c^2]-3ab(a+b+c)[/tex3]
[tex3]A=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)[/tex3]
[tex3]A=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ac-bc+2ab-3ab)[/tex3]
[tex3]A=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)[/tex3]

Multiplicando por 2 e dividindo por 2 teremos:
[tex3]A=\frac{1}{2}(a+b+c)(a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ac-2bc-2ab)[/tex3]
[tex3]A=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2][/tex3]

:D :D



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Ittalo25
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Abr 2018 06 21:26

Re: Demonstração - Identidade de Gauss

Mensagem não lida por Ittalo25 » Sex 06 Abr, 2018 21:26

Bem legal.
Neste link tem uma questão interessante sobre isso: (IIT-JEE) Desigualdade



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