DemonstraçõesDemonstração - Teorema de Poncelet

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jvmago
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Mar 2018 21 21:45

Demonstração - Teorema de Poncelet

Mensagem não lida por jvmago » Qua 21 Mar, 2018 21:45

Screen Shot 2018-03-21 at 22.08.39.png
Screen Shot 2018-03-21 at 22.08.39.png (30.74 KiB) Exibido 2330 vezes
Dado um [tex3]\Delta CDE[/tex3] com um ângulo [tex3]\alpha [/tex3] e uma circunferência inscrita de raio [tex3]r[/tex3] , provaremos: [tex3]DC+DE=CE+2r\cdot \cotg\(\frac{\alpha }{2}\)[/tex3] .

No [tex3]\Delta AFD[/tex3] temos:

[tex3]\frac{r}{\tg\(\frac{\alpha }{2}\)}=FD\rightarrow FD=r\cdot \cotg\(\frac{\alpha }{2}\)[/tex3]

Sabemos também que [tex3]FD=GD=r\cdot \cotg\(\frac{\alpha }{2}\)[/tex3] então teremos:

[tex3]\begin{align}&CD=m+r\cdot \cotg\(\frac{\alpha }{2}\)&\hspace{30pt}{\color{red}\text{(I)}}\\
&DE=n+r\cdot \cotg\(\frac{\alpha }{2}\)&\hspace{30pt}{\color{red}\text{(II)}}\\
&CE=m+n&\hspace{30pt}{\color{red}\text{(II)}}\end{align}[/tex3]

Somando (I) e (II)
[tex3]CD+DE=m+n+2r\cdot \cotg\(\frac{\alpha }{2}\)[/tex3]

Substituindo (III) em (II)
[tex3]CD+DE=CE+2r\cdot \cotg\(\frac{\alpha }{2}\)[/tex3] :D :D :D

O teorema é válido para qualquer triângulo que possua uma circunferência inscrita.

Última edição: caju (Qua 21 Mar, 2018 22:17). Total de 2 vezes.
Razão: Arrumar TeX.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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