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Chamaremos de [tex3]R,r[/tex3] os raios das circunferências maior e [tex3]x[/tex3] o raio da menor.
[tex3]R=GH[/tex3] ,[tex3]r=CD[/tex3] e [tex3]x=EF[/tex3] .
Trace a perpendicular [tex3]EK=b[/tex3] e a reta [tex3]EI=R-x[/tex3]
Aplicando pitágoras no [tex3]\Delta IEK[/tex3] temos:
[tex3]R^2+2xR+x^2=R^2-2xR+b^2[/tex3]
[tex3]4xR=b^2[/tex3]
[tex3]b=2\sqrt{xR}[/tex3]
De maneira análoga no [tex3]\Delta CJE[/tex3] tiramos
[tex3]a=2\sqrt{xr}[/tex3]
Olhando [tex3]\Delta CGI[/tex3] obtemos:
[tex3]CG=R+r[/tex3] , [tex3]GI=R-r[/tex3] e [tex3]CI-a+b[/tex3]
aplicando Pitágoras temos :
[tex3]R^2+2rR+r^2=R^2-2Rr+r^2+(2\sqrt{xr}+2\sqrt{xR})^2[/tex3]
[tex3]4rR=4(\sqrt{xr}+\sqrt{xR})^2[/tex3]
[tex3]\sqrt{rR}=\sqrt{xr}+\sqrt{xR}[/tex3]
[tex3]1=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{r}+\sqrt{R})}{\sqrt{Rr}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{r}}+\frac{1}{\sqrt{R}}[/tex3]
Esse teorema é válido se e somente se as três circunferência forem tangentes entre si e tangentes a uma reta comum entre as três
