Demonstrações(Demonstração) Relação entre os raios de três circunferências tangente entre si

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jvmago
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(Demonstração) Relação entre os raios de três circunferências tangente entre si

Mensagem não lida por jvmago »

geogebra-export (17).png
geogebra-export (17).png (42.61 KiB) Exibido 1751 vezes
Encontrei esse teorema e irei compartilhar com os senhores vamos lá.

Chamaremos de [tex3]R,r[/tex3] os raios das circunferências maior e [tex3]x[/tex3] o raio da menor.

[tex3]R=GH[/tex3] ,[tex3]r=CD[/tex3] e [tex3]x=EF[/tex3] .

Trace a perpendicular [tex3]EK=b[/tex3] e a reta [tex3]EI=R-x[/tex3]

Aplicando pitágoras no [tex3]\Delta IEK[/tex3] temos:

[tex3]R^2+2xR+x^2=R^2-2xR+b^2[/tex3]
[tex3]4xR=b^2[/tex3]
[tex3]b=2\sqrt{xR}[/tex3]

De maneira análoga no [tex3]\Delta CJE[/tex3] tiramos

[tex3]a=2\sqrt{xr}[/tex3]

Olhando [tex3]\Delta CGI[/tex3] obtemos:

[tex3]CG=R+r[/tex3] , [tex3]GI=R-r[/tex3] e [tex3]CI-a+b[/tex3]

aplicando Pitágoras temos :
[tex3]R^2+2rR+r^2=R^2-2Rr+r^2+(2\sqrt{xr}+2\sqrt{xR})^2[/tex3]
[tex3]4rR=4(\sqrt{xr}+\sqrt{xR})^2[/tex3]
[tex3]\sqrt{rR}=\sqrt{xr}+\sqrt{xR}[/tex3]
[tex3]1=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{r}+\sqrt{R})}{\sqrt{Rr}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{r}}+\frac{1}{\sqrt{R}}[/tex3] :D:D

Esse teorema é válido se e somente se as três circunferência forem tangentes entre si e tangentes a uma reta comum entre as três

Última edição: jvmago (Sex 16 Mar, 2018 21:15). Total de 1 vez.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Ittalo25
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Re: (Demonstração) Relação entre os raios de três circunferências tangente entre si

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Muito bom, mas já foi demonstrado aqui no fórum: Demonstração - Três circunferências tangentes



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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jvmago
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Re: (Demonstração) Relação entre os raios de três circunferências tangente entre si

Mensagem não lida por jvmago »

Ittalo25 escreveu:
Sex 16 Mar, 2018 21:32
Muito bom, mas já foi demonstrado aqui no fórum: Demonstração - Três circunferências tangentes
lol não tinha reparado, mil desculpas. É necessário excluir o post?
Última edição: jvmago (Sex 16 Mar, 2018 21:34). Total de 1 vez.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Auto Excluído (ID:12031)
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Mar 2018 16 23:50

Re: (Demonstração) Relação entre os raios de três circunferências tangente entre si

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

"demonstração do raio de uma terceira circunferência tangente à outras duas tangentes entre si externamente e à reta tangente comum entre elas" :D

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 16 Mar, 2018 23:51). Total de 1 vez.



Movido de IME / ITA para Demonstrações em Qua 21 Mar, 2018 13:04 por ALDRIN

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