)
Em um quadrilátero convexo inscritível, a soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos é igual ao produtos dos
comprimentos das diagonais
Hipótese o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] é inscritível Tése [tex3]AB.CD+AD.BC=AC.BD[/tex3]
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Repare também que, [tex3]C\hat BA\equiv A\hat DE[/tex3] , já que o ABCD é inscritível [tex3]A\hat BC+A\hat DC=180^{\circ}[/tex3] e [tex3]A\hat D E +A\hat D C=180^{\circ}\rightarrow A\hat DE \equiv C\hat BA [/tex3] .
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Veja que também que [tex3]A\hat BD \equiv A\hat C D[/tex3] pois ambos subtendem o mesmo arco AD. É fácil ver que [tex3]B\hat A D \equiv C\hat AE [/tex3] .
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[tex3]\bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup ACE\rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}[/tex3]
Assim, [tex3]AC.BD=AB.CE[/tex3]
Claro que: [tex3]CE=CD+DE\rightarrow AC.BD=AB.(CD+DE)\rightarrow AC.BD=AB.CD+AD.BC[/tex3]
De (1) [tex3]AB.BD=AB.CD+AD.BC[/tex3] , C.Q.D.
