Demonstrações

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 08 Dez 2017, 08:42 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 08 Dez 2017, 08:42

Demonstre que a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros números ímpares é igual a [tex3]n^2[/tex3] .

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Seja [tex3]m[/tex3] um inteiro positivo ímpar. Vamos analisar o intervalo [tex3][1,\,m][/tex3] :

Passo 1 - A soma de todos inteiros de [tex3][1,\,m][/tex3] (P.A. [tex3]r=1[/tex3] , [tex3]a_1=1[/tex3] , [tex3]m[/tex3] termos e último termo igual a [tex3]m[/tex3] ), é dada por [tex3]\frac{(1+m)m}{2}[/tex3] .

Passo 2 - No intervalo [tex3][1,\,m][/tex3] , temos [tex3]\frac{m-1}{2}[/tex3] números pares. A soma desses números, ou seja, dos [tex3]\frac{m-1}{2}[/tex3] primeiros números pares (P.A. [tex3]r=2[/tex3] , [tex3]a_1=2[/tex3] e último termo igual a [tex3]m-1[/tex3] ), é dada por [tex3]\frac{(2+m-1)\cdot \(\frac{m-1}{2}\)}{2}=\frac{(m+1)(m-1)}{4}[/tex3] .

Fazendo a diferença entre os resultados dos passos 1 e 2, encontraremos a fórmula da soma dos [tex3]\frac{m+1}{2}[/tex3] primeiros números ímpares.

[tex3]\frac{(m+1)m}{2}-\frac{(m+1)(m-1)}{4}=\frac{(m+1)^2}{4}=\(\frac{m+1}{2}\)^2[/tex3]

Fazendo [tex3]\frac{m+1}{2}=n[/tex3] , temos que a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros números ímpares é igual [tex3]n^2[/tex3] .

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 08 Dez 2017, 20:55

acho mais simples fazer:
[tex3]S_n = \frac{n (a_1 + a_n) }{2} = \frac{n(1+(n-1)2+1)}{2} = \frac{2n^2}{2}=n^2[/tex3]
onde [tex3]a_n = 1+2(n-1)[/tex3] é o n-ésimo ímpar. Veja que 1 , 3, 5,... forma uma PA de razão 2.

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Soma dos n primeiros números ímpares

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