Técnica olímpica - Buffalo way
Enviado: Seg 30 Out, 2017 01:03
Vou fazer uma série de tópicos com algumas técnicas para resolver questões de olimpíadas de matemática. Peço aos moderadores que os coloquem na categoria de demonstrações para que possam ser facilmente encontrados.
Buffalo way é um método para resolver inequações. Apesar de não ser considerado elegante por ser visto como "força bruta", pode ser útil em alguns casos.
A técnica consiste em:
1) se as variáveis são definidas (ou podem ser definidas) como [tex3]x\geq y \geq z \geq ...[/tex3] , então fazer as substituições (ou de algum jeito mais esperto) :
[tex3]\begin{cases}
x=a \\
y=a+b \\
z=a+b+c \\
....
\end{cases}[/tex3]
com [tex3]a,b,c... \geq 0 [/tex3]
Exemplo 1) Sejam a,b e c reais não negativos com [tex3]c \geq b \geq a[/tex3] , prove que: [tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]
Fazendo a substituição:
[tex3]\begin{cases}
a=x \\
b=x+y \\
c=x+y+z
\end{cases}[/tex3]
[tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]
[tex3](x+x+y)(x+y+z+x)^2 \geq 6x(x+y)(x+y+z)[/tex3]
[tex3]2x^3+2x^2z+2xyz+2xz^2+y^3+2y^2z+yz^2 \geq 0[/tex3]
O que é claramente verdade, ocorrendo igualdade quando: [tex3]x = y = z = 0 [/tex3] , ou seja, [tex3]a = b = c = 0 [/tex3]
Exemplo 2) Sejam os reais a,b e c com [tex3]c \geq b \geq a[/tex3] prove que [tex3]\frac{a+b+c}{3} - \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \geq \frac{(c-a)^2}{6c}[/tex3]
Fazendo a substituição:
[tex3]\begin{cases}
a=a \\
b=a+u \\
c=a+u+v
\end{cases}[/tex3]
e desenvolvendo:
[tex3]a^2(u-v)^2+4au^3+4au^2v+2auv^3+3u^3+7u^3v+5u^2v^2+uv^3 \geq 0 [/tex3]
O que é claramente verdade
Buffalo way é um método para resolver inequações. Apesar de não ser considerado elegante por ser visto como "força bruta", pode ser útil em alguns casos.
A técnica consiste em:
1) se as variáveis são definidas (ou podem ser definidas) como [tex3]x\geq y \geq z \geq ...[/tex3] , então fazer as substituições (ou de algum jeito mais esperto) :
[tex3]\begin{cases}
x=a \\
y=a+b \\
z=a+b+c \\
....
\end{cases}[/tex3]
com [tex3]a,b,c... \geq 0 [/tex3]
Exemplo 1) Sejam a,b e c reais não negativos com [tex3]c \geq b \geq a[/tex3] , prove que: [tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]
Fazendo a substituição:
[tex3]\begin{cases}
a=x \\
b=x+y \\
c=x+y+z
\end{cases}[/tex3]
[tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]
[tex3](x+x+y)(x+y+z+x)^2 \geq 6x(x+y)(x+y+z)[/tex3]
[tex3]2x^3+2x^2z+2xyz+2xz^2+y^3+2y^2z+yz^2 \geq 0[/tex3]
O que é claramente verdade, ocorrendo igualdade quando: [tex3]x = y = z = 0 [/tex3] , ou seja, [tex3]a = b = c = 0 [/tex3]
Exemplo 2) Sejam os reais a,b e c com [tex3]c \geq b \geq a[/tex3] prove que [tex3]\frac{a+b+c}{3} - \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \geq \frac{(c-a)^2}{6c}[/tex3]
Fazendo a substituição:
[tex3]\begin{cases}
a=a \\
b=a+u \\
c=a+u+v
\end{cases}[/tex3]
e desenvolvendo:
[tex3]a^2(u-v)^2+4au^3+4au^2v+2auv^3+3u^3+7u^3v+5u^2v^2+uv^3 \geq 0 [/tex3]
O que é claramente verdade