Demonstrações ⇒ Técnica olímpica - Buffalo way

[Ittalo25]

Vou fazer uma série de tópicos com algumas técnicas para resolver questões de olimpíadas de matemática. Peço aos moderadores que os coloquem na categoria de demonstrações para que possam ser facilmente encontrados.

Buffalo way é um método para resolver inequações. Apesar de não ser considerado elegante por ser visto como "força bruta", pode ser útil em alguns casos.

A técnica consiste em:

1) se as variáveis são definidas (ou podem ser definidas) como [tex3]x\geq y \geq z \geq ...[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\geq y \geq z \geq ...[/tex3]

, então fazer as substituições (ou de algum jeito mais esperto) :

[tex3]\begin{cases}
x=a \\
y=a+b \\
z=a+b+c \\
....
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x=a \\
y=a+b \\
z=a+b+c \\
....
\end{cases}[/tex3]

com [tex3]a,b,c... \geq 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b,c... \geq 0 [/tex3]

Exemplo 1) Sejam a,b e c reais não negativos com [tex3]c \geq b \geq a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c \geq b \geq a[/tex3]

, prove que: [tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]

Fazendo a substituição:

[tex3]\begin{cases}
a=x \\
b=x+y \\
c=x+y+z
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a=x \\
b=x+y \\
c=x+y+z
\end{cases}[/tex3]

[tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)(c+a)^2 \geq 6abc[/tex3]

[tex3](x+x+y)(x+y+z+x)^2 \geq 6x(x+y)(x+y+z)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+x+y)(x+y+z+x)^2 \geq 6x(x+y)(x+y+z)[/tex3]

[tex3]2x^3+2x^2z+2xyz+2xz^2+y^3+2y^2z+yz^2 \geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^3+2x^2z+2xyz+2xz^2+y^3+2y^2z+yz^2 \geq 0[/tex3]

O que é claramente verdade, ocorrendo igualdade quando: [tex3]x = y = z = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = y = z = 0 [/tex3]

, ou seja, [tex3]a = b = c = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = b = c = 0 [/tex3]

Exemplo 2) Sejam os reais a,b e c com [tex3]c \geq b \geq a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c \geq b \geq a[/tex3]

prove que [tex3]\frac{a+b+c}{3} - \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \geq \frac{(c-a)^2}{6c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+b+c}{3} - \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \geq \frac{(c-a)^2}{6c}[/tex3]

Fazendo a substituição:

[tex3]\begin{cases}
a=a \\
b=a+u \\
c=a+u+v
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a=a \\
b=a+u \\
c=a+u+v
\end{cases}[/tex3]

e desenvolvendo:

[tex3]a^2(u-v)^2+4au^3+4au^2v+2auv^3+3u^3+7u^3v+5u^2v^2+uv^3 \geq 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2(u-v)^2+4au^3+4au^2v+2auv^3+3u^3+7u^3v+5u^2v^2+uv^3 \geq 0 [/tex3]

O que é claramente verdade