)
Essas são algumas propriedades de logaritmos que acho que são pouco conhecidas, mas que valem a pena serem compartilhadas
1) Inversão do logaritmando
Hipótese: Um logaritmo A qualquer é igual ao logaritmo -A com o logaritmando invertido: [tex3]A=\log \frac{x}{y}\rightarrow -A=\log \frac{y}{x}[/tex3]
Demonstração:
Multiplicando [tex3]A=\log \frac{x}{y}[/tex3] por [tex3]-1[/tex3] , teremos:
[tex3]-A=-\log\frac{x}{y} [/tex3]
Utilizando a propriedade de multiplicação por constante:
[tex3]-A=\log\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}[/tex3]
Que resulta em:
[tex3]-A=\log \frac{y}{x}[/tex3]
2) Base com expoentes
Hipótese: Um logaritmo qualquer de base [tex3]b^c[/tex3] e logaritmando [tex3]x[/tex3] é igual a um logaritmo de base [tex3]b[/tex3] e logaritmando [tex3]x^{1/c}[/tex3] : [tex3]\log_{b^c}x=\log_bx^{1/c}[/tex3]
Demonstração:
Pela propriedade da mudança de base, temos:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac{\log_bx}{\log_b^{b^c}}[/tex3]
Podemos retirar c do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac{\log_bx}{c\log_bb}[/tex3] (I)
Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando ([tex3]\log_bb[/tex3] ), que é igual a 1:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac{\log_bx}{c}[/tex3]
Reescrevendo:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac1c \times \log_bx[/tex3]
Pela multiplicação por constante:
[tex3]\log_{b^c}x=\log_bx^{1/c}[/tex3]
Observe que em (I) ,podemos ter um final diferente para essa propriedade, ao multiplicarmos a equação por [tex3]c[/tex3] :
[tex3]c\log_{b^c}x=\log_bx[/tex3]
3) Troca da base pelo logaritmando:
Hipótese: Um logaritmo [tex3]A[/tex3] qualquer de base [tex3]b[/tex3] e logaritmando [tex3]x[/tex3] é igual a um logaritmo [tex3]\frac1A[/tex3] de base [tex3]x[/tex3] e logaritmando [tex3]b[/tex3] : [tex3]A=\log_bx\rightarrow \frac{1}{A}=\log_xb[/tex3]
Demonstração:
Pela propriedade da mudança de base, temos que:
[tex3]\log_bx=\frac{\log_xx}{\log_xb}[/tex3]
Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando ([tex3]\log_xx[/tex3] ), que é igual a 1:
[tex3]\log_bx=\frac{1}{\log_xb}[/tex3]
Elevando-se a equação a [tex3]-1[/tex3] , podemos reescrevê-la:
[tex3]\frac{1}{\log_bx}=\log_xb[/tex3]
4) Multiplicação de logaritmos
Hipótese: [tex3]\log_ca\cdot \log_bc=\log_ba[/tex3]
Demonstração:
A multiplicação também é definida pela mudança de base. Na equação abaixo, desmembramos o denominador da divisão:
[tex3]\log_ba= \frac{\log_ca}{\log_cb}\rightarrow \log_ba=\log_ca \cdot \frac{1}{\log_cb} [/tex3]
Dividindo a equação por [tex3]\log_ca[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_ba}{\log_ca}=\frac{1}{\log_cb}[/tex3]
Elevando-se a equação a [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_ca}{\log_ba}=\log_cb[/tex3]
Utilizando a propriedade da troca da base pelo logaritmando:
[tex3]\frac{\log_ba}{\log_ca}=\log_bc[/tex3]
Multiplicando a equação por [tex3]\log_ca[/tex3] :
[tex3]\log_ca\cdot \log_bc=\log_ba[/tex3]
