Olá,
Essas são algumas propriedades de logaritmos que acho que são pouco conhecidas, mas que valem a pena serem compartilhadas
1) Inversão do logaritmando
Hipótese: Um logaritmo A qualquer é igual ao logaritmo -A com o logaritmando invertido: [tex3]A=\log \frac{x}{y}\rightarrow -A=\log \frac{y}{x}[/tex3]
Demonstração:
Multiplicando [tex3]A=\log \frac{x}{y}[/tex3]
por [tex3]-1[/tex3]
, teremos:
[tex3]-A=-\log\frac{x}{y} [/tex3]
Utilizando a propriedade de multiplicação por constante:
[tex3]-A=\log\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}[/tex3]
Que resulta em:
[tex3]-A=\log \frac{y}{x}[/tex3]
2) Base com expoentes
Hipótese: Um logaritmo qualquer de base [tex3]b^c[/tex3]
e logaritmando [tex3]x[/tex3]
é igual a um logaritmo de base [tex3]b[/tex3]
e logaritmando [tex3]x^{1/c}[/tex3]
: [tex3]\log_{b^c}x=\log_bx^{1/c}[/tex3]
Demonstração:
Pela propriedade da mudança de base, temos:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac{\log_bx}{\log_b^{b^c}}[/tex3]
Podemos retirar c do logaritmando pela propriedade da multiplicação por constante:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac{\log_bx}{c\log_bb}[/tex3]
(I)
Temos um caso de logaritmos em que a base é igual ao logaritmando ([tex3]\log_bb[/tex3]
), que é igual a 1:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac{\log_bx}{c}[/tex3]
Reescrevendo:
[tex3]\log_{b^c}x=\frac1c \times \log_bx[/tex3]
Pela multiplicação por constante:
[tex3]\log_{b^c}x=\log_bx^{1/c}[/tex3]
Observe que em (I) ,podemos ter um final diferente para essa propriedade, ao multiplicarmos a equação por [tex3]c[/tex3]
:
[tex3]c\log_{b^c}x=\log_bx[/tex3]
3) Troca da base pelo logaritmando:
Hipótese: Um logaritmo [tex3]A[/tex3]
qualquer de base [tex3]b[/tex3]
e logaritmando [tex3]x[/tex3]
é igual a um logaritmo [tex3]\frac1A[/tex3]
de base [tex3]x[/tex3]
e logaritmando [tex3]b[/tex3]
: [tex3]A=\log_bx\rightarrow \frac{1}{A}=\log_xb[/tex3]
Demonstração:
Pela propriedade da mudança de base, temos que:
[tex3]\log_bx=\frac{\log_xx}{\log_xb}[/tex3]
Ocorreu o caso de um logaritmo no qual a base é igual ao logaritmando ([tex3]\log_xx[/tex3]
), que é igual a 1:
[tex3]\log_bx=\frac{1}{\log_xb}[/tex3]
Elevando-se a equação a [tex3]-1[/tex3]
, podemos reescrevê-la:
[tex3]\frac{1}{\log_bx}=\log_xb[/tex3]
4) Multiplicação de logaritmos
Hipótese: [tex3]\log_ca\cdot \log_bc=\log_ba[/tex3]
Demonstração:
A multiplicação também é definida pela mudança de base. Na equação abaixo, desmembramos o denominador da divisão:
[tex3]\log_ba= \frac{\log_ca}{\log_cb}\rightarrow \log_ba=\log_ca \cdot \frac{1}{\log_cb} [/tex3]
Dividindo a equação por [tex3]\log_ca[/tex3]
:
[tex3]\frac{\log_ba}{\log_ca}=\frac{1}{\log_cb}[/tex3]
Elevando-se a equação a [tex3]-1[/tex3]
:
[tex3]\frac{\log_ca}{\log_ba}=\log_cb[/tex3]
Utilizando a propriedade da troca da base pelo logaritmando:
[tex3]\frac{\log_ba}{\log_ca}=\log_bc[/tex3]
Multiplicando a equação por [tex3]\log_ca[/tex3]
:
[tex3]\log_ca\cdot \log_bc=\log_ba[/tex3]
Demonstrações ⇒ Algumas propriedades logarítmicas Tópico resolvido
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Algumas propriedades logarítmicas
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Out 2017
20
08:19
Re: Algumas propriedades logarítmicas
Hola leomaxwell.
Parabenizo vc por essa colocação, que ao meu ver será de grande utilidade para todos nós.
Parabenizo vc por essa colocação, que ao meu ver será de grande utilidade para todos nós.
Paulo Testoni
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