DemonstraçõesDemonstração do Teorema das Cotangentes

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candre
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Demonstração do Teorema das Cotangentes

Mensagem não lida por candre »

teorema:
seja um triangulo de lados [tex3]\overline{AB}=c,\overline{AC}=b,\overline{BC}=a[/tex3] ângulos [tex3]\hat{A}=\alpha,\hat{B}=\beta,\hat{C}=\gamma[/tex3] e [tex3]s[/tex3] o semiperímetro do triangulo, temos que a razão entre a diferença do semiperímetro e um lado do triangulo pela cotangente do angulo oposto a este lado é igual ao raio da circunferência inscrita dentro do triangulo, sendo:
r=\dfrac{s-a}{\cot\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\dfrac{s-b}{\cot\left(\dfrac{\beta}{2}\right)}=\dfrac{s-c}{\cot\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)}

considerações iniciais:
temos que o incentro(centro da circunferência inscrita dentro do triangulo) e o ponto de encontro da bissetrizes dos três ângulos.

demonstração:
para a prova vamos considerar a seguinte figura:
teorema da cotangentes
teorema da cotangentes
lei das cotagentes.png (33.13 KiB) Exibido 2197 vezes
temos que a bissetriz divide um angulo em dois ângulos iguais, também temos que sendo [tex3]O[/tex3] o centro do circulo inscrito, como [tex3]A',B',C'[/tex3] são os pontos de tangencia da circunferência com o triangulo, considerando que [tex3]\overline{A'O}=\overline{B'O}=\overline{C'O}=r[/tex3] , ou seja, esses segmentos são raios do circulo inscrito, temos então que o raio forma um angulo reto com o lados do triangulo, tendo ainda que:
o triangulo [tex3]\triangle AC'O[/tex3] é congruente ao triangulo [tex3]\triangle AB'O[/tex3] já que ambos tem dois lados iguais [tex3]\overline{C'O}=\overline{B'O}[/tex3] e [tex3]\overline{AO}[/tex3] que e comum ao dois triângulos, alem do mais temos que os dois tem dois ângulos iguais que e o angulo dividido e o angulo reto, concluímos então que [tex3]\overline{AC'}=\overline{AB'}=x[/tex3] , de forma análoga concluímos também que [tex3]\overline{A'C}=\overline{B'C}=y[/tex3] e [tex3]\overline{A'B}=\overline{BC'}=z[/tex3]
considerando [tex3]\overline{AB}=c,\overline{AC}=b,\overline{BC}=a,\hat{A}=\alpha,\hat{B}=\beta,\hat{C}=\gamma[/tex3]
da figura obtemos que [tex3]\overline{AB}=\overline{AC'}+\overline{BC'},\overline{AC}=\overline{AB'}+\overline{B'C}[/tex3] e [tex3]\overline{BC}=\overline{A'B}+\overline{A'C}[/tex3] , montando o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}(1)&x+y=b\\(2)&y+z=a\\(3)&x+z=c\end{cases}[/tex3]
somando as equações [tex3](1),(2)[/tex3] e [tex3](3)[/tex3] temos:
[tex3]2x+2y+2z=a+b+c\\
x+y+z=\frac{a+b+c}{2}=s[/tex3]
[tex3](4)[/tex3] [tex3]x+y+z=s[/tex3]
onde [tex3]s[/tex3] e o semiperímetro
se subtraímos [tex3](2)[/tex3] de [tex3](4)[/tex3] temos:
[tex3]x=s-a[/tex3]
se subtraímos [tex3](3)[/tex3] de [tex3](4)[/tex3] temos:
[tex3]y=s-c[/tex3]
por fim se subtraímos [tex3](1)[/tex3] de [tex3](4)[/tex3] temos:
[tex3]z=s-b[/tex3]
pela definição de tangente temos:
[tex3]\tan(\theta)=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}[/tex3] como [tex3]\cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}[/tex3] então temos [tex3]\cot(\theta)=\dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{cateto oposto}}[/tex3] , sendo que a bissetriz divide um angulo na metade, temos pela definição da cotangente que:
[tex3]\cot\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\overline{AC'}}{\overline{C'O}}=\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{B'O}}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{s-a}{r}\Leftrightarrow r=\dfrac{s-a}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]\cot\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)=\dfrac{\overline{B'C}}{\overline{B'O}}=\dfrac{\overline{A'C}}{\overline{A'O}}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{s-c}{r}\Leftrightarrow r=\dfrac{s-c}{\cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)}[/tex3]
[tex3]\cot\left(\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{\overline{A'B}}{\overline{A'O}}=\dfrac{\overline{BC'}}{\overline{OC'}}=\dfrac{z}{r}=\dfrac{s-b}{r}\Leftrightarrow r=\dfrac{s-b}{\cot\left(\frac{\beta}{2}\right)}[/tex3]
o que nos permite escrever
r=\dfrac{s-a}{\cot\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\dfrac{s-b}{\cot\left(\dfrac{\beta}{2}\right)}=\dfrac{s-c}{\cot\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)}
que é o queríamos demonstrar.

Última edição: candre (Seg 27 Jan, 2014 22:01). Total de 2 vezes.


a vida e uma caixinha de surpresas.

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