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candre
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Jan 2014 27 22:01

Demonstração do Teorema das Cotangentes

Mensagem não lida por candre » Seg 27 Jan, 2014 22:01

teorema:
seja um triangulo de lados \overline{AB}=c,\overline{AC}=b,\overline{BC}=a ângulos \hat{A}=\alpha,\hat{B}=\beta,\hat{C}=\gamma e s o semiperímetro do triangulo, temos que a razão entre a diferença do semiperímetro e um lado do triangulo pela cotangente do angulo oposto a este lado é igual ao raio da circunferência inscrita dentro do triangulo, sendo:
r=\dfrac{s-a}{\cot\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\dfrac{s-b}{\cot\left(\dfrac{\beta}{2}\right)}=\dfrac{s-c}{\cot\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)}

considerações iniciais:
temos que o incentro(centro da circunferência inscrita dentro do triangulo) e o ponto de encontro da bissetrizes dos três ângulos.

demonstração:
para a prova vamos considerar a seguinte figura:
lei das cotagentes.png
teorema da cotangentes
lei das cotagentes.png (33.13 KiB) Exibido 733 vezes
temos que a bissetriz divide um angulo em dois ângulos iguais, também temos que sendo O o centro do circulo inscrito, como A',B',C' são os pontos de tangencia da circunferência com o triangulo, considerando que \overline{A'O}=\overline{B'O}=\overline{C'O}=r, ou seja, esses segmentos são raios do circulo inscrito, temos então que o raio forma um angulo reto com o lados do triangulo, tendo ainda que:
o triangulo \triangle AC'O é congruente ao triangulo \triangle AB'O já que ambos tem dois lados iguais \overline{C'O}=\overline{B'O} e \overline{AO} que e comum ao dois triângulos, alem do mais temos que os dois tem dois ângulos iguais que e o angulo dividido e o angulo reto, concluímos então que \overline{AC'}=\overline{AB'}=x, de forma análoga concluímos também que \overline{A'C}=\overline{B'C}=y e \overline{A'B}=\overline{BC'}=z
considerando \overline{AB}=c,\overline{AC}=b,\overline{BC}=a,\hat{A}=\alpha,\hat{B}=\beta,\hat{C}=\gamma
da figura obtemos que \overline{AB}=\overline{AC'}+\overline{BC'},\overline{AC}=\overline{AB'}+\overline{B'C} e \overline{BC}=\overline{A'B}+\overline{A'C}, montando o seguinte sistema:
\begin{cases}(1)&x+y=b\\(2)&y+z=a\\(3)&x+z=c\end{cases}
somando as equações (1),(2) e (3) temos:
2x+2y+2z=a+b+c\\
x+y+z=\frac{a+b+c}{2}=s
(4) x+y+z=s
onde s e o semiperímetro
se subtraímos (2) de (4) temos:
x=s-a
se subtraímos (3) de (4) temos:
y=s-c
por fim se subtraímos (1) de (4) temos:
z=s-b
pela definição de tangente temos:
\tan(\theta)=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} como \cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)} então temos \cot(\theta)=\dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{cateto oposto}}, sendo que a bissetriz divide um angulo na metade, temos pela definição da cotangente que:
\cot\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\overline{AC'}}{\overline{C'O}}=\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{B'O}}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{s-a}{r}\Leftrightarrow r=\dfrac{s-a}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\cot\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)=\dfrac{\overline{B'C}}{\overline{B'O}}=\dfrac{\overline{A'C}}{\overline{A'O}}=\dfrac{y}{r}=\dfrac{s-c}{r}\Leftrightarrow r=\dfrac{s-c}{\cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
\cot\left(\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{\overline{A'B}}{\overline{A'O}}=\dfrac{\overline{BC'}}{\overline{OC'}}=\dfrac{z}{r}=\dfrac{s-b}{r}\Leftrightarrow r=\dfrac{s-b}{\cot\left(\frac{\beta}{2}\right)}
o que nos permite escrever
r=\dfrac{s-a}{\cot\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\dfrac{s-b}{\cot\left(\dfrac{\beta}{2}\right)}=\dfrac{s-c}{\cot\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)}
que é o queríamos demonstrar.

Última edição: candre (Seg 27 Jan, 2014 22:01). Total de 2 vezes.


a vida e uma caixinha de surpresas.

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