Demonstrações

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 27 Dez 2013, 01:08

Olá, Pessoal!

Existe uma forma de demonstrar a seguinte proposição sem o auxílio do diagrama de Euler-Venn:

$n(A\cup B) = n(A) + n(B)- n(A\cap B)$

Onde $n(X)$ denota o número de elementos do conjunto genérico $X$ ? Eu lembro de uma demonstração para o caso de probabilidade ( $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ e envolve o conceito de probabilidade condicionada. Mas não sei se podemos aplicar esse conceito em se tratando de número de elementos.

Agradeço desde já!

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 28 Dez 2013, 00:17

Olá, Emanuel.

Introdução:

A demonstração será dividida em duas partes. Na primeira parte, demonstrarei alguns fatos que usarei para a explicação da propriedade na segunda parte. Para isso, usarei como verdade as seguintes propriedades:

$(1)\,\,M-B=A\cap N^c$ , onde $N^c$ denota o conjunto complementar a $N$ em relação ao universo $U$ .
$(2)\,\,M\cup (N\cap P)=(M\cup N)\cap(M\cap P)$
$(3)\,\,M^c\cap M=\emptyset$
$(4)\,\,M\cap \emptyset=\emptyset$
$(5)\,\,M\cup U=M$
$(6)\,\,M^c\cup M=U$
$(7)\,\,M^c\cap M=\emptyset$

Primeira parte:

Seja $A$ e $B$ dois conjuntos não vazios, sabe-se que $A\cap B\neq \emptyset$ . Provaremos que $(A-B)\cup (A\cap B)=A$ , $(A-B)$ e $A\cap B$ são conjuntos disjuntos e $(A-B)\cup B=A\cup B$

Fato 01: $(A-B)\cap (A\cap B)=\emptyset$

$(A-B)\cap (A\cap B)\,\,=\,\,A\cap B^c\cap A\cap B\,\,=\,\,A\cap (B^c\cap B)\,\,=\,\,A\cap \emptyset\,\,=\,\,\emptyset$

Fato 02: $(A-B)\cup (A\cap B)=A$

$\small (A-B)\cup (A\cap B)\,\,=\,\,(A\cap B^c)\cup (A\cap B)\,\,=\,\,A\cap (B\cup B^c)\,\,=\,\,A\cap U\,\,=\,\,A$

Fato 03: $(A-B)\cup B=A\cup B$

$\small (A-B)\cup B\,\,=\,\,(A\cap B^c)\cup B\,\,=\,\,(A\cup B)\cap (B^c\cup B)\,\,=\,\,(A\cup B)\cap U\,\,=\,\,A\cup B$

Segunda parte:

Em relação a cardinalidade, se dois conjuntos são dijuntos, sabemos que,

$n(M\cup N)=n(M)+n(N)$

Deste modo, com base no fato 01, se pegarmos os conjuntos $(A-B)$ e $A\cap B$ , teremos,

$n[\,(A-B)\cup (A\cap B)\,]=n(A-B)+n(A\cap B)$

Usando o fato 02,

$n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)$

Da mesma maneira, se pegarmos os conjuntos $(A-B)$ e $B$ , obteremos,

$n[\,(A-B)\cup B\,]=n(A-B)+n(B)$

Aplicando o fato 03,

$n(A\cup B)=n(A-B)+n(B)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,n(A-B)=n(A \cup B)-n(B)$

Substituindo na primeira equação,

$\small n(A)=n(A \cup B)-n(B)+n(A\cap B)$

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

Como queríamos demonstrar.

Fontes:

Elementos da Matemática - Marcelo Rufino e Márcio Pinheiro.

Espero ter ajudado, abraço.

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 28 Dez 2013, 00:59

Olá, Nélio!

Muito engenhosa essa demonstração! Podemos movê-la para a seção de demonstração do fórum!

Grande abraço!

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