DemonstraçõesDemonstração de propriedades de conjuntos Tópico resolvido

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Dez 2013 27 01:08

Demonstração de propriedades de conjuntos

Mensagem não lida por emanuel9393 » Sex 27 Dez, 2013 01:08

Olá, Pessoal!

Existe uma forma de demonstrar a seguinte proposição sem o auxílio do diagrama de Euler-Venn:
n(A\cup B) = n(A) + n(B)- n(A\cap B)
Onde n(X) denota o número de elementos do conjunto genérico X? Eu lembro de uma demonstração para o caso de probabilidade (P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) e envolve o conceito de probabilidade condicionada. Mas não sei se podemos aplicar esse conceito em se tratando de número de elementos.

Agradeço desde já! :wink:

Última edição: emanuel9393 (Sex 27 Dez, 2013 01:08). Total de 1 vez.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

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jrneliodias
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Dez 2013 28 00:17

Re: Demonstração de propriedades de conjuntos

Mensagem não lida por jrneliodias » Sáb 28 Dez, 2013 00:17

Olá, Emanuel.

Introdução:

A demonstração será dividida em duas partes. Na primeira parte, demonstrarei alguns fatos que usarei para a explicação da propriedade na segunda parte. Para isso, usarei como verdade as seguintes propriedades:

(1)\,\,M-B=A\cap N^c, onde N^c denota o conjunto complementar a N em relação ao universo U.
(2)\,\,M\cup (N\cap P)=(M\cup N)\cap(M\cap P)
(3)\,\,M^c\cap M=\emptyset
(4)\,\,M\cap \emptyset=\emptyset
(5)\,\,M\cup U=M
(6)\,\,M^c\cup M=U
(7)\,\,M^c\cap M=\emptyset

Primeira parte:

Seja A e B dois conjuntos não vazios, sabe-se que A\cap B\neq \emptyset. Provaremos que (A-B)\cup (A\cap B)=A, (A-B) e A\cap B são conjuntos disjuntos e (A-B)\cup B=A\cup B

Fato 01: (A-B)\cap (A\cap B)=\emptyset

(A-B)\cap (A\cap B)\,\,=\,\,A\cap B^c\cap A\cap B\,\,=\,\,A\cap (B^c\cap B)\,\,=\,\,A\cap \emptyset\,\,=\,\,\emptyset

Fato 02: (A-B)\cup (A\cap B)=A

\small (A-B)\cup (A\cap B)\,\,=\,\,(A\cap B^c)\cup (A\cap B)\,\,=\,\,A\cap (B\cup B^c)\,\,=\,\,A\cap U\,\,=\,\,A

Fato 03: (A-B)\cup B=A\cup B

\small (A-B)\cup B\,\,=\,\,(A\cap B^c)\cup B\,\,=\,\,(A\cup B)\cap (B^c\cup B)\,\,=\,\,(A\cup B)\cap U\,\,=\,\,A\cup B

Segunda parte:

Em relação a cardinalidade, se dois conjuntos são dijuntos, sabemos que,

n(M\cup N)=n(M)+n(N)

Deste modo, com base no fato 01, se pegarmos os conjuntos (A-B) e A\cap B, teremos,

n[\,(A-B)\cup (A\cap B)\,]=n(A-B)+n(A\cap B)

Usando o fato 02,

n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)

Da mesma maneira, se pegarmos os conjuntos (A-B) e B, obteremos,

n[\,(A-B)\cup B\,]=n(A-B)+n(B)

Aplicando o fato 03,

n(A\cup B)=n(A-B)+n(B)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,n(A-B)=n(A \cup B)-n(B)

Substituindo na primeira equação,

\small n(A)=n(A \cup B)-n(B)+n(A\cap B)

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

Como queríamos demonstrar.

Fontes:

Elementos da Matemática - Marcelo Rufino e Márcio Pinheiro.

Espero ter ajudado, abraço.

Última edição: jrneliodias (Sáb 28 Dez, 2013 00:17). Total de 1 vez.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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emanuel9393
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Re: Demonstração de propriedades de conjuntos

Mensagem não lida por emanuel9393 » Sáb 28 Dez, 2013 00:59

Olá, Nélio!

Muito engenhosa essa demonstração! Podemos movê-la para a seção de demonstração do fórum!

Grande abraço! :wink:



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