DemonstraçõesDemonstração - Área de um Triângulo em Função das Medianas

Fórum de coletânea das melhores demonstrações de teoremas de matemática.
Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
theblackmamba
5 - Mestre
Mensagens: 3723
Registrado em: Ter 23 Ago, 2011 15:43
Última visita: 20-11-19
Localização: São Paulo - SP
Ago 2013 29 12:28

Demonstração - Área de um Triângulo em Função das Medianas

Mensagem não lida por theblackmamba »

Demonstrar que a área de um triângulo qualquer [tex3]ABC[/tex3] em função de suas medianas [tex3]m_a,m_b,m_c[/tex3] que partem dos respectivos vértices [tex3]A,B,C[/tex3] é dada por:
[tex3]S_{ABC}=\frac{4}{3}\sqrt{s(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}[/tex3]
Onde [tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}[/tex3] .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Traçando os segmentos de mesma medida e paralelos as medianas: [tex3]FH//BE=m_b;\,\,\,CH//AD=m_a;\,\,\,CF//CF=m_c,[/tex3] formamos o triângulo [tex3]CFH[/tex3] .
triangulo.png
triangulo.png (14.82 KiB) Exibido 2373 vezes
Como [tex3]F[/tex3] é ponto médio de [tex3]AB[/tex3] então o ponto [tex3]E[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3] ([tex3]F[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são colineares por pertencerem a diagonal do paralelogramo [tex3]BEFH[/tex3] ).

O ponto [tex3]I[/tex3] é a intersecção das diagonais do paralelogramo [tex3]AEFH[/tex3] e portanto também é ponto médio de [tex3]AE[/tex3] e [tex3]FH[/tex3] .

Sabendo que se triângulos possuem a mesma altura a proporção de suas bases determina a proporção de suas áreas temos que:

[tex3]S_{ACF}=\frac{1}{2}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]S_{AFI}=\frac{1}{4}S_{ACF}\,\,\therefore\,\,S_{AFI}=\frac{1}{8}S_{ABC}[/tex3]

[tex3]S_{CFI}=\frac{1}{2}S_{CFH}[/tex3]

Logo temos:
[tex3]S_{AFI}+S_{CFI}=\frac{1}{2}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]S_{CFI}=\frac{1}{2}S_{ABC}-\frac{1}{8}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}S_{CFH}=\frac{3}{8}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{ABC}=\frac{4}{3}S_{CFH}}[/tex3]

Pela relação de Heron a área de um triângulo de lados [tex3]a,b,c[/tex3] e semiperímetro [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3] é dada por: [tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3] .

No triângulo [tex3]CFH[/tex3] :

[tex3]S_{CFH}=\sqrt{s(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}[/tex3] , onde [tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}[/tex3]

Portanto, a área de um triângulo [tex3]ABC[/tex3] em função de suas medianas [tex3]m_a,m_b,m_c[/tex3] vale:
[tex3]\boxed{S_{ABC}=\frac{4}{3}\sqrt{s(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}}[/tex3]
Abraço.

Última edição: theblackmamba (Qui 29 Ago, 2013 12:28). Total de 2 vezes.


"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Demonstrações”