DemonstraçõesDemonstração - Raízes de Uma Equação Quadrática

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emanuel9393
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Demonstração - Raízes de Uma Equação Quadrática

Mensagem não lida por emanuel9393 »

Demonstrar que a raízes de um polinômio do segundo grau [tex3]ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, 0[/tex3] , sendo [tex3]a \, \neq \, 0, b, c \,\,\, \in \,\,\,\, \mathbb{R}[/tex3] os coeficientes do polinômio, são dadas pela seguinte relação:
[tex3]x_{1} \, = \, \frac{- \, b \, + \, \sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\,\, ,\,\,\,\,\, x_{2} \, = \, \frac{- \, b \, - \, \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]
Onde [tex3]\Delta \, = \, b^{2} \, - \, 4ac[/tex3] e [tex3]\Delta \, \geq \, 0[/tex3] .
---------------------------------------------------------------------------------
Demonstração:
Considerando o polinômio do segundo grau dado, vamos utilizar a sua forma canônica:
[tex3]ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a}\right) \,\,\, \\ \\ \\ =\,\,\, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a} \, + \, \frac{b^{2}}{4a^{2}} \,- \, \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right) \, = \, a\left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, + \, \frac{4ac \, - \, b^{2}}{4a^{2}} \right] \, \\ \\ \\ = \, a \left[ \left(x \,+ \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right][/tex3]
Por definição, raízes de um polinômio [tex3]P\left(x\right)[/tex3] são os valores [tex3]x_{1}, x_{2}, x_{3} , x_{4} , ... , x_{n}[/tex3] para o qual [tex3]P\left(x\right) \,= \, 0[/tex3] . Logo, basta igualarmos a forma canônica a zero:
[tex3]a \left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right] \, = \, 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, = \, \frac{\Delta}{4a^{2}} \,\,\, \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \left| x \, + \frac{b}{2a}\right| \, = \, \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x \, + \, \frac{b}{2a} \, = \, \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \, \,\,\, x \, = \, \frac{- \, b \, \pm \, \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]
Com isso, existem dois valores [tex3]x_{1}, x_{2} \,\,\, \in \,\,\, \mathbb{R}[/tex3] que são raízes do polinômio e dado e são determinados por:
[tex3]\boxed{\boxed{x_{1} \, = \, \frac{- \, b \, + \, \sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\,\, ,\,\,\,\,\, x_{2} \, = \, \frac{- \, b \, - \, \sqrt{\Delta}}{2a}}} \,\,\,\,\,\,\,\, \operatorname{c.q.d}[/tex3]
--------------------------------------------------------------------------------------
Existem outras propriedades de um polinômio do segundo grau que podem ser também demonstradas de diversas formas. Por exemplo, podemos demontrar que todo polinômio do segundo grau pode ser escrito na forma:
[tex3]a \left(x \,- \, x_{1}\right)\left(x \, - \, x_{2}\right) \, = \, 0[/tex3]
Onde [tex3]x_{1}[/tex3] e [tex3]x_{2}[/tex3] são as raízes. Também podemos achar uma relação que envolve soma e produtos das raízes. Se alguém quiser demonstrar alguma relação que envolve equação do segundo grau, fique à vontade para postar aqui.

Um abraço! :wink:

Última edição: MateusQqMD (Sáb 11 Abr, 2020 18:33). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

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MateusQqMD
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Re: Demonstração - Raízes de Uma Equação Quadrática

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Irei complementar o tópico do colega emanuel9393.

Proposição: Se [tex3]\Delta \geq 0,[/tex3] então a soma [tex3]S[/tex3] e o produto [tex3]P[/tex3] das raízes da equação [tex3]ax^{2} + bx + c = 0[/tex3] são dados por [tex3]S = - \frac{b}{a}[/tex3] e [tex3]P = \frac{c}{a}.[/tex3]

Prova.

É suficiente verificar que

[tex3]\frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b + \sqrt{\Delta} - \sqrt{\Delta}}{2a} = - \frac{b}{a}[/tex3]

e

[tex3]\(\frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(\frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \) = \frac{(-b)^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{c}{a}.[/tex3]



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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