DemonstraçõesDemonstração - raízes de uma equação quadrática

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emanuel9393
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Demonstração - raízes de uma equação quadrática

Mensagem não lida por emanuel9393 » Ter 18 Dez, 2012 22:16

Demonstrar que a raízes de um polinômio do segundo grau ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, 0, sendo a \, \neq \, 0, b, c \,\,\, \in \,\,\,\, \mathbb{R} os coeficientes do polinômio, são dadas pela seguinte relação:
x_{1} \, = \, \frac{- \, b \, + \, \sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\,\, ,\,\,\,\,\, x_{2} \, = \, \frac{- \, b \, - \, \sqrt{\Delta}}{2a}
Onde \Delta \, = \, b^{2} \, - \, 4ac e \Delta \, \geq \, 0.
---------------------------------------------------------------------------------
Demonstração:
Considerando o polinômio do segundo grau dado, vamos utilizar a sua forma canônica:
ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a}\right) \,\,\,  \\ \\ \\ =\,\,\, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a} \, + \, \frac{b^{2}}{4a^{2}} \,- \, \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right) \, = \, a\left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, + \, \frac{4ac \, - \, b^{2}}{4a^{2}} \right] \, \\ \\ \\ = \, a \left[ \left(x \,+ \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right]
Por definição, raízes de um polinômio P\left(x\right) são os valores x_{1}, x_{2}, x_{3} , x_{4} , ... , x_{n} para o qual P\left(x\right) \,= \, 0. Logo, basta igualarmos a forma canônica a zero:
a \left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right] \, = \, 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, = \, \frac{\Delta}{4a^{2}} \,\,\, \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \left| x \, + \frac{b}{2a}\right| \, = \, \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x \, + \, \frac{b}{2a} \, = \, \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \, \,\,\, x \, = \, \frac{- \, b \, \pm \, \sqrt{\Delta}}{2a}
Com isso, existem dois valores x_{1}, x_{2} \,\,\, \in \,\,\, \mathbb{R} que são raízes do polinômio e dado e são determinados por:
\boxed{\boxed{x_{1} \, = \, \frac{- \, b \, + \, \sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\,\, ,\,\,\,\,\, x_{2} \, = \, \frac{- \, b \, - \, \sqrt{\Delta}}{2a}}} \,\,\,\,\,\,\,\, \operatorname{c.q.d}
--------------------------------------------------------------------------------------
Existem outras propriedades de um polinômio do segundo grau que podem ser também demonstradas de diversas formas. Por exemplo, podemos demontrar que todo polinômio do segundo grau pode ser escrito na forma:
a \left(x \,- \, x_{1}\right)\left(x \, - \, x_{2}\right) \, = \, 0
Onde x_{1} e x_{2} são as raízes. Também podemos achar uma relação que envolve soma e produtos das raízes. Se alguém quiser demonstrar alguma relação que envolve equação do segundo grau, fique à vontade para postar aqui.

Um abraço! :wink:

Última edição: emanuel9393 (Ter 18 Dez, 2012 22:16). Total de 1 vez.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

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