Demonstrações ⇒ Demonstração - Conjunto dos números racionais

Fórum de coletânea das melhores demonstrações de teoremas de matemática.
Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Responder
Avatar do usuário
Autor do Tópico
emanuel9393
5 - Mestre
Mensagens: 2658
Registrado em: Qua 28 Dez, 2011 20:39
Última visita: 28-03-24
Localização: Petrolina - PE
Jul 2012 31 15:01

Demonstração - Conjunto dos números racionais

Mensagem não lidapor emanuel9393 » Ter 31 Jul, 2012 15:01

Mensagem não lida por emanuel9393 »

------------------------------------------------------------------
Hipótese
Demonstre que \sqrt{2} \, \notin \, \mathbb{Q}.
------------------------------------------------------------------
Demonstração
Considere uma fração irredutível \frac{a}{b} tal que \sqrt{2} \, = \, \frac{a}{b}. Podemos fazer:
\frac{a}{b} \, = \, \sqrt{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, a^{2} \, = \, 2 \cdot b^{2}
Podemos perceber que a^{2} é par. Consequentemente, a é par. Fazendo a \, = \, 2 \cdot m \,\,\,\,\, \left(m \, \in \, \mathbb{Z} \right), temos que:
a^{2} \, = \, 2 \cdot b^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(2 \cdot m \right)^{2} \, = \, 2 \cdot b^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, b^{2} \, = \, 2 \cdot m^{2}
Podemos perceber que b também é par. Isso é absurdo, pois consideramos inicialmente que o racional \frac{a}{b} é redutível.
Última edição: emanuel9393 (Ter 31 Jul, 2012 15:01). Total de 1 vez.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...
Voltar ao topo
Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Demonstrações”