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Hipótese
Considere um triângulo de vértices [tex3]A \left(x_{A} \, , \,\, y_{A}\right)[/tex3] , [tex3]B \left(x_{B} \, , \,\, y_{B}\right)[/tex3] e [tex3]C \left(x_{C} \, , \,\, y_{C}\right)[/tex3] . Demonstrar que as cordenadas do baricentro [tex3]G \left(x_{G} \, , \,\, y_{G}\right)[/tex3] podem ser dadas por:
[tex3]\begin{cases}x_{G} \, = \, \frac{x_{A} \, + \, x_{B} \, + \, x_{C}}{3} \\ y_{G} \, = \, \frac{y_{A} \, + \, y_{B} \, + \, y_{C}}{3}\end{cases}[/tex3]
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Demonstração
Vamos associar um sistema de coordenadas Cartesiano ao triângulo de vértices [tex3]A \left(x_{A} \, , \,\, y_{A}\right)[/tex3] , [tex3]B \left(x_{B} \, , \,\, y_{B}\right)[/tex3] e [tex3]C \left(x_{C} \, , \,\, y_{C}\right)[/tex3] sendo [tex3]D[/tex3] o ponto médio do lado [tex3]BC[/tex3] .
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[tex3]x_{D} \, = \, \frac{x_{B} \, + \, x_{C}}{2} \,\,\,\,\,\,\, e \,\,\,\,\,\,\, y_{D} \, = \, \frac{y_{B} \, + \, y_{C}}{2} \,\,\,\,\,\,\, (i)[/tex3]
O baricentro [tex3]G[/tex3] é definido pela interseção das três medianas do triângulo, sendo que o baricentro divide cada uma das medianas na razão 2:1. Com isso:
[tex3]\frac{AG}{GD} \, = \, 2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{x_{G} \, - \, x_{A}}{x_{D} \, - \, x_{G}} \, = \, 2 \\ \\ x_{G} \, - \, x_{A} \, = \, 2 \cdot \left(x_{D} \, - \, x_{G}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 3 \cdot x_{G} \, = \, 2 \cdot x_{D} \, + \, x_{A} \,\,\,\, (ii)[/tex3]
Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] , vem:
[tex3]3 \cdot x_{G} \, = \, 2 \cdot x_{D} \, + \, x_{A} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 3 \cdot x_{G} \, = \, 2 \cdot \left(\frac{x_{B} \, + \, x_{C}}{2}\right) \, + \, x_{A} \\ \\ \boxed{\boxed{x_{G} \, = \, \frac{x_{A} \, + \, x_{B} \, + \, x_{C}}{3}}}[/tex3]
Para determinarmos a ordenada do baricentro, usaremos o mesmo raciocínio da determinação da abcissa:
[tex3]\frac{AG}{GD} \, = \, 2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{y_{G} \, - \, y_{A}}{y_{D} \, - \, y_{G}} \, = \, 2 \\ \\ y_{G} \, - \, y_{A} \, = \, 2 \cdot \left(y_{D} \, - \, y_{G}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 3 \cdot y_{G} \, = \, 2 \cdot y_{D} \, + \, y_{A} \,\,\,\, (iii)[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3](i)[/tex3] em [tex3](iii)[/tex3] , vem:
[tex3]3 \cdot y_{G} \, = \, 2 \cdot y_{D} \, + \, y_{A} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 3 \cdot y_{G} \, = \, 2 \cdot \left(\frac{y_{B} \, + \, y_{C}}{2}\right) \, + \, y_{A} \\ \\ \boxed{\boxed{y_{G} \, = \, \frac{y_{A} \, + \, y_{B} \, + \, y_{C}}{3}}}[/tex3]
Em outras palavras, as coordenadas do baricentro de um triângulo é dada pela média aritmética das coordenadas do vértice.
