DemonstraçõesPontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo

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Marcos
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Jul 2012 21 21:30

Pontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo

Mensagem não lida por Marcos »

Demonstre que em um quadrilátero qualquer os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo.
Quadrilátero.gif
Quadrilátero.gif (7.94 KiB) Exibido 4709 vezes
No quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] sejam [tex3]M[/tex3] , [tex3]N[/tex3] , [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] os pontos médios dos lados.
[*]Em um triângulo qualquer, se [tex3]M[/tex3] for ponto médio de [tex3]{\overline{AB}[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , ponto médio de [tex3]{\overline{AD}[/tex3] , então [tex3]\triangle {ADB}[/tex3] [tex3]\sim[/tex3] [tex3]\triangle {AQM}[/tex3] .

Então, como [tex3]\frac {\overline{AQ}}{\overline{AD}}[/tex3] =[tex3]\frac {1}{2}[/tex3] =[tex3]\frac {\overline{AM}}{\overline{AB}}[/tex3] , [tex3]\Delta[/tex3] [tex3]AQM[/tex3] [tex3]\sim[/tex3] [tex3]\Delta[/tex3] [tex3]ADB[/tex3] e, portanto [tex3]\overline{QM}[/tex3] [tex3]\parallel[/tex3] [tex3]\overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{QM}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3] .

De forma análoga, [tex3]\overline{PN}[/tex3] [tex3]\parallel[/tex3] [tex3]\overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{PN}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3] .

Assim, [tex3]\overline{QM}[/tex3] [tex3]\parallel[/tex3] [tex3]\overline{PN}[/tex3] e [tex3]\overline{QM}[/tex3] =[tex3]\overline{PN}[/tex3] .Logo, [tex3]MNPQ[/tex3] é um paralelogramo. (c.q.d)

Última edição: caju (Sáb 16 Nov, 2019 22:50). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''

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