Pontos Médios dos Lados de um Quadrilátero formam um Paralelogramo
Enviado: Sáb 21 Jul, 2012 21:30
Demonstre que em um quadrilátero qualquer os pontos médios dos lados são vértices de um paralelogramo.
No quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
sejam [tex3]M[/tex3]
, [tex3]N[/tex3]
, [tex3]P[/tex3]
e [tex3]Q[/tex3]
os pontos médios dos lados.
[*]Em um triângulo qualquer, se [tex3]M[/tex3] for ponto médio de [tex3]{\overline{AB}[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , ponto médio de [tex3]{\overline{AD}[/tex3] , então [tex3]\triangle {ADB}\sim\triangle {AQM}[/tex3] .
Então, como [tex3]\frac {\overline{AQ}}{\overline{AD}} = \frac {1}{2} = \frac {\overline{AM}}{\overline{AB}}[/tex3] , [tex3]\DeltaAQM\sim\DeltaADB[/tex3] e, portanto [tex3]\overline{QM}\parallel\overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{QM}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3] .
De forma análoga, [tex3]\overline{PN}\parallel\overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{PN}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3] .
Assim, [tex3]\overline{QM}\parallel\overline{PN}[/tex3] e [tex3]\overline{QM} = \overline{PN}[/tex3] .Logo, [tex3]MNPQ[/tex3] é um paralelogramo. (c.q.d)
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[*]Em um triângulo qualquer, se [tex3]M[/tex3] for ponto médio de [tex3]{\overline{AB}[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , ponto médio de [tex3]{\overline{AD}[/tex3] , então [tex3]\triangle {ADB}\sim\triangle {AQM}[/tex3] .
Então, como [tex3]\frac {\overline{AQ}}{\overline{AD}} = \frac {1}{2} = \frac {\overline{AM}}{\overline{AB}}[/tex3] , [tex3]\DeltaAQM\sim\DeltaADB[/tex3] e, portanto [tex3]\overline{QM}\parallel\overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{QM}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3] .
De forma análoga, [tex3]\overline{PN}\parallel\overline{DB}[/tex3] e [tex3]\boxed{{\overline{PN}}=\frac {\overline{DB}}{2}}[/tex3] .
Assim, [tex3]\overline{QM}\parallel\overline{PN}[/tex3] e [tex3]\overline{QM} = \overline{PN}[/tex3] .Logo, [tex3]MNPQ[/tex3] é um paralelogramo. (c.q.d)