[tex3]\boxed{x=\sqrt{\frac{a^2n +b^2m}{c}-mn}}[/tex3]
Demonstração:
Considere a figura descrita a seguir e os ângulos assinalados:
Pelo Teorema dos Cossenos,
[tex3]\{a^2=x^2+m^2-2mx\cdot \cos\alpha \\b^2=x^2+n^2-2nx \cdot \cos\theta[/tex3]
Da trigonometria, [tex3]\cos\alpha=-\cos\theta[/tex3] , logo:
[tex3]\{a^2=x^2+m^2+2mn\cdot \cos\theta \\ b^2=x^2+n^2-2nx \cdot \cos\theta[/tex3]
Isolando [tex3]\cos\theta[/tex3] nas equações:
[tex3]\cos\theta=\frac{a^2-x^2-m^2}{2mx}[/tex3]
[tex3]\cos\theta=\frac{n^2+x^2-b^2}{2nx}[/tex3]
Igualando:
[tex3]\frac{a^2-x^2-m^2}{2mx}=\frac{n^2+x^2-b^2}{2nx}[/tex3]
[tex3]a^2n-x^2n-m^2n=mn^2+mx^2-b^2m[/tex3]
[tex3]x^2(m+n) = a^2n - mn(m+n)+b^2m[/tex3]
Mas, [tex3]m+n=c[/tex3] , logo:
[tex3]x^2c=a^2n+b^2m-mnc[/tex3]
Portanto,
[tex3]\boxed{ x=\sqrt{\frac{a^2n +b^2m}{c}-mn}}[/tex3]
Abraço