DemonstraçõesDemonstração - Teorema de Stewart Tópico resolvido

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theblackmamba
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Demonstração - Teorema de Stewart

Mensagem não lida por theblackmamba »

"Seja um triângulo ABC qualquer, cujos lados medem [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3]. Seja [tex3]x[/tex3] uma ceviana e [tex3]P[/tex3] o ponto pertencente à reta suporte. O Teorema de Stewart afirma que o comprimento desta ceviana está relacionado com os comprimentos dos lados do triângulo e dos comprimentos [tex3]\overline{BP}=m[/tex3] e [tex3]\overline{PC}=n[/tex3]"
[tex3]\boxed{x=\sqrt{\frac{a^2n +b^2m}{c}-mn}}[/tex3]
Demonstração:

Considere a figura descrita a seguir e os ângulos assinalados:
stewart.JPG
stewart.JPG (7.99 KiB) Exibido 4862 vezes
Pelo Teorema dos Cossenos,
[tex3]\{a^2=x^2+m^2-2mx\cdot \cos\alpha \\b^2=x^2+n^2-2nx \cdot \cos\theta[/tex3]

Da trigonometria, [tex3]\cos\alpha=-\cos\theta[/tex3] , logo:

[tex3]\{a^2=x^2+m^2+2mn\cdot \cos\theta \\ b^2=x^2+n^2-2nx \cdot \cos\theta[/tex3]

Isolando [tex3]\cos\theta[/tex3] nas equações:

[tex3]\cos\theta=\frac{a^2-x^2-m^2}{2mx}[/tex3]
[tex3]\cos\theta=\frac{n^2+x^2-b^2}{2nx}[/tex3]

Igualando:

[tex3]\frac{a^2-x^2-m^2}{2mx}=\frac{n^2+x^2-b^2}{2nx}[/tex3]
[tex3]a^2n-x^2n-m^2n=mn^2+mx^2-b^2m[/tex3]
[tex3]x^2(m+n) = a^2n - mn(m+n)+b^2m[/tex3]

Mas, [tex3]m+n=c[/tex3] , logo:

[tex3]x^2c=a^2n+b^2m-mnc[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{ x=\sqrt{\frac{a^2n +b^2m}{c}-mn}}[/tex3]

Abraço :D

Última edição: theblackmamba (Seg 07 Mai, 2012 20:45). Total de 2 vezes.


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caju
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Re: Teorema de Stewart

Mensagem não lida por caju »

Olá theblackmamba,

Muito bom seu post, bem organizado.

Uma utilização muito comum do Teorema de Stewart é para o cálculo do comprimento de medianas.

Você poderia nos mostrar como ficaria esta fórmula nesta situação específica?

Grande abraço,
Prof. Caju



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theblackmamba
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Re: Teorema de Stewart

Mensagem não lida por theblackmamba »

Vamos lá:

Se [tex3]x[/tex3] é uma mediana então esta "corta" o lado oposto (BC) em dois segmentos iguais, ou seja, [tex3]m=n[/tex3] e [tex3]c=2m[/tex3] ou [tex3]c=2n[/tex3] . Por conveniência utilizarei [tex3]c=2m[/tex3] .

[tex3]x=\sqrt{\frac{a^2\cancel{m}+b^2\cancel{m}}{2\cancel{m}}-m^2}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\sqrt{\frac{a^2+b^2-2m^2}{2}}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\,\therefore\,\boxed{x=\frac{1}{2} \sqrt{2(a^2+b^2-2m^2)}}[/tex3]

Podemos utilizar estas duas formas para achar o valor da mediana.

Acho este Teorema é muito útil !! Pois relaciona qualquer tipo de ceviana !!!

Abraço.

Última edição: theblackmamba (Seg 21 Mai, 2012 19:42). Total de 2 vezes.


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