Demonstrações

Demonstrar que em todo triângulo, a relação entre os raios $R$ e $r$ das circunferências circunscrita e inscrita e a distância $\ell$ entre os centros destas circunferências é:

$\ell^2 = R^2 - 2Rr$ .

Consideremos a figura:

: circuncentro incentro.jpg (47.49 KiB) Exibido 3420 vezes

Seja $O$ o ciruncentro e $I$ o incentro.
$\overline{AI}$ é a bissetriz do $\angle BAC$
$\overline{BI}$ é a bissetriz do $\angle ABC$
$\overline{PQ}$ é a mediatriz do lado $\overline{BC}$
$R$ é o raio da circunferência circunscrita
$r$ é o raio da circunferência inscrita

$m \overline{IO}$ é o que procuramos.

O $\Delta PBQ$ é retângulo, então podemos escrever: $\left(\overline{PB}\right)^2=\overline{PD} \cdot \overline{PQ}$ $(I)$

Pela análise da figura, verifica-se que o $\Delta BPI$ é isósceles, sendo $\overline{PB}=\overline{PI}$ . $(II)$

Por outro lado, $\Delta IRO$ é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras:
$\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{RI}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2$ $(III)$

Da mesma forma, $\Delta PRI$ é retângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras:
$\left(\overline{PI}\right)^2=\left(\overline{RI}\right)^2+\left(\overline{PR}\right)^2$ $(IV)$

Fazendo $III-IV$ :
$\left(\overline{IO}\right)^2-\left(\overline{PI}\right)^2=\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2$
$\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{PI}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2$

Substituindo $II$ :
$\left(\overline{IO}\right)^2=\left(\overline{PB}\right)^2+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2$

Substituindo $I$ :
$\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot \overline {PQ}+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PR}\right)^2$

Fazendo as substituições tendo base a figura acima:
$\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(\overline{PO}+\overline{RO}\right)^2$

$\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\left(\overline{RO}\right)^2-\left(R+\overline{RO}\right)^2$

$\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R+\cancel{\left(\overline{RO}\right)^2}-R^2-2R\overline{RO}-\cancel{\left(\overline{RO}\right)^2}$

$\left(\overline{IO}\right)^2=\overline{PD} \cdot 2R-R^2-2R\overline{RO}$

$\left(\overline{IO}\right)^2=(R-\overline{OD}) \cdot 2R-R^2-2R(r-\overline{OD})$

$\left(\overline{IO}\right)^2=2R^2\cancel{-2R\overline{OD}}-R^2-2Rr\cancel{+2R\overline{OD}}$

$\left(\overline{IO}\right)=R^2-2Rr$

Espero ter ajudado!

Muito obrigado ValdecirTozzi,
Foi bem explicativa!
Vou movê-la para o espaço de demonstrações.

Abraço.

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