Demonstrações

28 Jun 2007, 10:36

A partir de hoje estarei aqui postando teoremas geométricos, pouco vistos em livros comuns, e que costumam cai no ime pedindo para provar alguma colinearidade entre pontos!!

"Teorema de Menelaus"

: Screen Shot 2017-06-16 at 12.11.53.png (11.44 KiB) Exibido 9135 vezes

Então vale a seguinte propriedade:

[tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] e [tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] ,ou seja, [tex3]\overline{AE}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{FB}=\overline{AD}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{FC}[/tex3]

Espero que tenham gostado, então tentem provar a mesma!!!! Bem como tbm sua reciprocidade!!!! fui...

Mensagem não lida por **marco_sx** » 06 Jul 2007, 20:06

: mene.png (19.87 KiB) Exibido 20995 vezes

[tex3]\overline{GC}// \overline{AB}[/tex3]

Pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta ADE \sim \Delta CDG[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] (I)

Também pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta BEF \sim \Delta CGF[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{BE}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{FC}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] (II)

(I)=(II) : [tex3]\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}} \Rightarrow \overline{AE}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{FB}=\overline{AD}\cdot \overline{BE}\cdot \overline{FC}[/tex3]

Mensagem não lida por **bmachado** » 18 Mar 2012, 14:32

Obrigado nunca tinha visto!

Olá gente! Recentemente, um problema me induziu a uma demonstração do teorema de Menelaus que até então eu não tinha visto... e resolvi compartilhar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...

Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a reta [tex3]PR[/tex3] que intercepta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] :

: menelaus.png (17.26 KiB) Exibido 3211 vezes

O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]

Prova:

Consider a reta [tex3]l[/tex3] paralela a [tex3]PR[/tex3] pelo ponto [tex3]B[/tex3]

: menelaus2.png (24.36 KiB) Exibido 3211 vezes

Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3] então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]

Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3] como queríamos demonstrar.

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