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Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)

Enviado: Qui 28 Jun, 2007 10:36
por italoemanuell
A partir de hoje estarei aqui postando teoremas geométricos, pouco vistos em livros comuns, e que costumam cai no ime pedindo para provar alguma colinearidade entre pontos!!

"Teorema de Menelaus"
Screen Shot 2017-06-16 at 12.11.53.png
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Então vale a seguinte propriedade:

[tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] e [tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] ,ou seja, [tex3]\overline{AE}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{FB}=\overline{AD}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{FC}[/tex3]

Espero que tenham gostado, então tentem provar a mesma!!!! Bem como tbm sua reciprocidade!!!! fui...

Demonstração do Teorema de Menelaus

Enviado: Sex 06 Jul, 2007 20:06
por marco_sx
mene.png
mene.png (19.87 KiB) Exibido 20796 vezes
[tex3]\overline{GC}// \overline{AB}[/tex3]

Pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta ADE \sim \Delta CDG[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] (I)

Também pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta BEF \sim \Delta CGF[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{BE}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{FC}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] (II)

(I)=(II) : [tex3]\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}} \Rightarrow \overline{AE}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{FB}=\overline{AD}\cdot \overline{BE}\cdot \overline{FC}[/tex3]

Re: Geometria Plana: Teorema de Menelaus

Enviado: Dom 18 Mar, 2012 14:32
por bmachado
Obrigado nunca tinha visto!

Re: Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)

Enviado: Sáb 08 Ago, 2020 22:14
por Deleted User 24633
Olá gente! Recentemente, um problema me induziu a uma demonstração do teorema de Menelaus que até então eu não tinha visto... e resolvi compartilhar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...

Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a reta [tex3]PR[/tex3] que intercepta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] :
menelaus.png
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O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]

Prova:

Consider a reta [tex3]l[/tex3] paralela a [tex3]PR[/tex3] pelo ponto [tex3]B[/tex3]
menelaus2.png
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Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3] então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]

Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3] como queríamos demonstrar.