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Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)
Enviado: Qui 28 Jun, 2007 10:36
por italoemanuell
A partir de hoje estarei aqui postando teoremas geométricos, pouco vistos em livros comuns, e que costumam cai no ime pedindo para provar alguma colinearidade entre pontos!!
"Teorema de Menelaus"
- Screen Shot 2017-06-16 at 12.11.53.png (11.44 KiB) Exibido 8936 vezes
Então vale a seguinte propriedade:
[tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3]
e [tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3]
,ou seja, [tex3]\overline{AE}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{FB}=\overline{AD}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{FC}[/tex3]
Espero que tenham gostado, então tentem provar a mesma!!!! Bem como tbm sua reciprocidade!!!! fui...
Demonstração do Teorema de Menelaus
Enviado: Sex 06 Jul, 2007 20:06
por marco_sx
- mene.png (19.87 KiB) Exibido 20796 vezes
[tex3]\overline{GC}// \overline{AB}[/tex3]
Pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta ADE \sim \Delta CDG[/tex3]
[tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3]
(I)
Também pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta BEF \sim \Delta CGF[/tex3]
[tex3]\frac{\overline{BE}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{FC}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3]
(II)
(I)=(II) : [tex3]\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}} \Rightarrow \overline{AE}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{FB}=\overline{AD}\cdot \overline{BE}\cdot \overline{FC}[/tex3]
Re: Geometria Plana: Teorema de Menelaus
Enviado: Dom 18 Mar, 2012 14:32
por bmachado
Obrigado nunca tinha visto!
Re: Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)
Enviado: Sáb 08 Ago, 2020 22:14
por Deleted User 24633
Olá gente! Recentemente, um problema me induziu a uma demonstração do teorema de Menelaus que até então eu não tinha visto... e resolvi compartilhar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...
Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3]
e a reta [tex3]PR[/tex3]
que intercepta [tex3]AC[/tex3]
em [tex3]Q[/tex3]
:
- menelaus.png (17.26 KiB) Exibido 3012 vezes
O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]
Prova:
Consider a reta [tex3]l[/tex3]
paralela a [tex3]PR[/tex3]
pelo ponto [tex3]B[/tex3]
- menelaus2.png (24.36 KiB) Exibido 3012 vezes
Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3]
então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]
Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]
como queríamos demonstrar.