A partir de hoje estarei aqui postando teoremas geométricos, pouco vistos em livros comuns, e que costumam cai no ime pedindo para provar alguma colinearidade entre pontos!!
"Teorema de Menelaus"
Então vale a seguinte propriedade:
[tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3]
e [tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3]
,ou seja, [tex3]\overline{AE}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{FB}=\overline{AD}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{FC}[/tex3]
Espero que tenham gostado, então tentem provar a mesma!!!! Bem como tbm sua reciprocidade!!!! fui...
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana) Tópico resolvido
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Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)
Editado pela última vez por italoemanuell em 28 Jun 2007, 10:36, em um total de 2 vezes.
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Jul 2007
06
20:06
Demonstração do Teorema de Menelaus
Pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta ADE \sim \Delta CDG[/tex3]
[tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] (I)
Também pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta BEF \sim \Delta CGF[/tex3]
[tex3]\frac{\overline{BE}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{FC}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] (II)
(I)=(II) : [tex3]\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}} \Rightarrow \overline{AE}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{FB}=\overline{AD}\cdot \overline{BE}\cdot \overline{FC}[/tex3]
Editado pela última vez por marco_sx em 06 Jul 2007, 20:06, em um total de 3 vezes.
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Ago 2020
08
22:14
Re: Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)
Olá gente! Recentemente, um problema me induziu a uma demonstração do teorema de Menelaus que até então eu não tinha visto... e resolvi compartilhar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...
Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a reta [tex3]PR[/tex3] que intercepta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] : O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]
Prova:
Consider a reta [tex3]l[/tex3] paralela a [tex3]PR[/tex3] pelo ponto [tex3]B[/tex3] Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3] então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]
Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3] como queríamos demonstrar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...
Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a reta [tex3]PR[/tex3] que intercepta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] : O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]
Prova:
Consider a reta [tex3]l[/tex3] paralela a [tex3]PR[/tex3] pelo ponto [tex3]B[/tex3] Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3] então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]
Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3] como queríamos demonstrar.
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