Demonstrações ⇒ Demonstração - Desigualdade MA-MG via Termodinâmica

[παθμ]

Considere um conjunto de [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

corpos, com o i-ésimo corpo tendo uma temperatura inicial [tex3]T_i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T_i[/tex3]

. Todos os corpos possuem a mesma capacidade térmica [tex3]C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C[/tex3]

e eles constituem um sistema fechado.

Os corpos, estando todos em contato térmico, eventualmente atingirão o equilíbrio térmico, e, como todos possuem a mesma capacidade térmica, a temperatura final será [tex3]T=\frac{\sum_{i=1}^{n}T_i}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T=\frac{\sum_{i=1}^{n}T_i}{n}[/tex3]

(a média aritmética das temperaturas)

A variação de entropia do sistema será [tex3]\Delta S=\sum_{i=1}^{n}\Delta S_i=\sum_{i=1}^{n}C \ln(\frac{T}{T_i})=C\ln(\prod_{i=1}^{n}\frac{T}{T_i})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta S=\sum_{i=1}^{n}\Delta S_i=\sum_{i=1}^{n}C \ln(\frac{T}{T_i})=C\ln(\prod_{i=1}^{n}\frac{T}{T_i})[/tex3]

Como o sistema é fechado, devemos ter:

[tex3]\Delta S\geq 0 \rightarrow \ln(\prod_{i=1}^{n}\frac{T}{T_i})\geq 0\rightarrow \frac{T^n}{\prod_{i=1}^{n}T_i}\geq 1\rightarrow T\geq (\prod_{i=1}^{n}T_i)^{1/n}\rightarrow \frac{\sum_{i=1}^{n}T_i}{n}\geq (\prod_{i=1}^{n}T_i)^{1/n} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta S\geq 0 \rightarrow \ln(\prod_{i=1}^{n}\frac{T}{T_i})\geq 0\rightarrow \frac{T^n}{\prod_{i=1}^{n}T_i}\geq 1\rightarrow T\geq (\prod_{i=1}^{n}T_i)^{1/n}\rightarrow \frac{\sum_{i=1}^{n}T_i}{n}\geq (\prod_{i=1}^{n}T_i)^{1/n} [/tex3]

.

As temperaturas iniciais [tex3]T_i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T_i[/tex3]

são completamente arbitrárias. Poderíamos ter escolhido quaisquer números positivos que quiséssemos para as temperaturas (lembre-se que são temperaturas absolutas)

Isso prova a desigualdade MA-MG: [tex3]\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\geq (\prod_{i=1}^{n}a_i)^{1/n}[/tex3] [tex3]\forall a_i\geq 0[/tex3].

Obs: Apesar da nossa demonstração perder o sentido para o caso em que algum termo é igual a zero ([tex3]T_i=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T_i=0[/tex3]

), a validade da desigualdade MA-MG nesse caso é trivial de ser verificada (pois a média geométrica será igual a zero). Portanto, não há problema algum.