Demonstrações

Dado um triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] fixo no plano, pode-se estabelecer um exótico sistema de coordenadas no plano a partir dele.

1-) Seja [tex3]O[/tex3] um ponto qualquer do plano, as coordenadas baricêntricas de um ponto [tex3]P[/tex3] qualquer são dadas pela tripla ordenada de números reais: [tex3]P = (x:y:z)[/tex3] , tais que:

[tex3](x+y+z)\vec{OP} = x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OZ}[/tex3]

Note que essas coordenadas não dependem do ponto [tex3]O[/tex3] ; pois, dado outro ponto qualquer [tex3]O'[/tex3] , podemos verificar que o ponto [tex3]P'= (x:y:z)[/tex3] também será o ponto [tex3]P[/tex3] :

[tex3]\vec{PP'} = \vec{OP'} - \vec{OP} = (\vec{O'P'} - \vec{O'O}) - \vec{OP}[/tex3]

então:

[tex3](x+y+z)\vec{PP'} = (x+y+z)((\vec{O'P'} - \vec{OP}) - \vec{O'O}) = x(\vec{O'A}-\vec{OA}) +y(\vec{O'B}-\vec{OB}) +z(\vec{O'C}-\vec{OC}) +(x+y+z)\vec{O'O}=[/tex3]

[tex3](x+y+z)\vec{PP'} = x(\vec{O'A}-\vec{OA}) +y(\vec{O'B}-\vec{OB}) +z(\vec{O'C}-\vec{OC}) +(x+y+z)\vec{O'O}= x\vec{O'O} +y\vec{O'O} +z\vec{O'O} +(x+y+z)\vec{O'O}= \\=\vec{O'O}(x+y+z-x-y-z) = \vec 0 \iff P=P'[/tex3]

Portanto, omitimos o ponto [tex3]O[/tex3] da notação:

[tex3]P = \frac{xA+yB+zC}{x+y+z}[/tex3]

Note que o ponto [tex3]P = (x:y:z)[/tex3] é igual ao ponto [tex3]Q = (kx:ky:kz)[/tex3] para qualquer número real [tex3]k \neq 0[/tex3] .

2-) Dado o [tex3]\triangle PQR[/tex3] , tal que as coordenadas baricêntricas (em relação ao [tex3]\triangle ABC[/tex3] ) de seus vértices sejam: [tex3]P = (x_p:y_p:z_p),Q = (x_q:y_q:z_q)[/tex3] e [tex3]R = (x_r:y_r:z_r)[/tex3] , então, a área (com sinal) do [tex3]\triangle PQR[/tex3] se relaciona com a área (com sinal) do [tex3]\triangle ABC[/tex3] pela fórmula:

[tex3](PQR) = \frac1{(x_p+y_p+z_p)(x_q+y_q+z_q)(x_r+y_r+z_r)}\left | \begin{array}
ax_p & y_p & z_p \\
x_q & y_q & z_q \\
x_r & y_r & z_r \\
\end{array} \right |(ABC)[/tex3]

A prova é relativamente algébrica, consiste em atribuir coordenadas cartesianas [tex3](X_i,Y_i)[/tex3] aos pontos [tex3]A,B,C,P,Q[/tex3] e [tex3]R[/tex3] ; utilizar o resultado conhecido:

[tex3](ABC) = \frac12 \left | \begin{array}
1X_A & Y_A & 1 \\
X_B & Y_B & 1 \\
X_C & Y_C & 1 \\
\end{array} \right |, (PQR) = \frac12 \left | \begin{array}
1X_P & Y_P & 1 \\
X_Q & Y_Q & 1 \\
X_R & Y_R & 1 \\
\end{array} \right |,[/tex3]

e notar que: [tex3]\begin{pmatrix}
\frac{x_p}{s_p} & \frac{y_p}{s_p} & \frac{z_p}{s_p} \\
\frac{x_q}{s_q} & \frac{y_q}{s_q} & \frac{z_q}{s_q} \\
\frac{x_r}{s_r} & \frac{y_r}{s_r} & \frac{z_r}{s_r}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_A & Y_A & 1 \\
X_B & Y_B & 1 \\
X_C & Y_C & 1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
X_P & Y_Q & 1 \\
X_Q & Y_Q & 1 \\
X_R & Y_R & 1
\end{pmatrix}[/tex3] sendo [tex3]s_i = x_i+y_i+z_i[/tex3] .

3-) Como consequência imediata do item 2, temos que a equação da reta que passa pelos pontos [tex3]P_1 = (x_1:y_1:z_1)[/tex3] e [tex3]P_2 = (x_2:y_2:z_2)[/tex3] é dada por:

[tex3]\begin{vmatrix}
x & y & z \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2
\end{vmatrix} = 0 \iff ux + vy +wz=0[/tex3] com [tex3]u = \begin{vmatrix}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2
\end{vmatrix}, v = -\begin{vmatrix}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2
\end{vmatrix}, w =\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{vmatrix} [/tex3]

4-) Se [tex3]P_1 = (x_1:y_1:z_1)[/tex3] e [tex3]P_2 = (x_2:y_2:z_2)[/tex3] , então, [tex3]P_1 = P_2 \iff \exists k \neq 0 \text{ tal que } x_1=kx_2,y_1=ky_2[/tex3] e [tex3]z_1 = kz_2[/tex3] .

A volta é trivial. A ida consiste no fato de que se [tex3]P_1=P_2[/tex3] , então, qualquer ponto pode estar sobre a reta [tex3]P_1P_2[/tex3] :

[tex3]\begin{vmatrix}
x & y & z \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2
\end{vmatrix} = 0 \iff x(y_1z_2-y_2z_1) -y(x_1z_2-x_2z_1) + z(x_1y_2-x_2y_1) =0[/tex3]

os coeficientes de [tex3]x,y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] devem ser todos zero, logo, [tex3]\exists k \neq 0 \text{ tal que } x_1 =kx_2,y_1=ky_2[/tex3] e [tex3]z_1=kz_2[/tex3] .

Coordenadas absolutas/homogêneas de um ponto: Se o ponto [tex3]P[/tex3] é dado pelas coordenadas [tex3]P = (x_p:y_p:z_p)[/tex3] , tal que [tex3]x_p+y_p+z_p \neq 0[/tex3] , podemos multiplicar suas coordenadas pelo número real [tex3]k = \frac1{x_p+y_p+z_p}[/tex3] de forma que a soma de suas coordenadas seja [tex3]1[/tex3] , por exemplo, se [tex3]P = (1:2:3)[/tex3] , podemos dizer que [tex3]P = (\frac16:\frac13:\frac12)[/tex3] . Essas são as coordenadas absolutas do ponto [tex3](1:2:3)[/tex3] .
Balanceamento de pontos: balancear dois pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] significa ajustar suas coordenadas (através da multiplicação de todas por um mesmo número real) de forma que as somas delas sejam iguais. Exemplo: para balancear os pontos [tex3](1:0:1)[/tex3] e [tex3](1:2:3)[/tex3] , pode-se multiplicar o primeiro ponto por [tex3]3[/tex3] : [tex3](3:0:3)[/tex3] e a soma das coordenadas de ambos os pontos será [tex3]6[/tex3] .
Pontos no infinito: um ponto é dito no infinito quando a soma de suas coordenadas é zero. É o mesmo ponto da geometria projetiva. Todas as retas paralelas entre si concorrem em um ponto deste tipo.

5-) O ponto no infinito da reta que passa pelos pontos balanceados [tex3]P_1[/tex3] e [tex3]P_2[/tex3] é dado por [tex3]P_{\infty} = P_1-P_2[/tex3] .

A prova é muito simples assumindo que os pontos são balanceados. Qualquer outro ponto no infinito nesta reta será proporcional (ou seja, igual) a [tex3]P_1-P_2[/tex3] .

Dualidade ponto e reta: A reta [tex3]ux+vy+wz=0[/tex3] pode ser interpretada como o ponto [tex3]P = (u:v:w)[/tex3] . Não é difícil ver que a condição de concorrência de três retas é perfeitamente análoga à condição de colinearidade de três pontos, admitindo a interpretação descrita na última oração.

6-) Interpretação geométrica das coordenadas baricêntricas:

: baricentricasfoto.png (14.7 KiB) Exibido 1137 vezes

As coordenadas baricêntricas do ponto [tex3]P = (x:y:z)[/tex3] são equivalentes as áreas (com sinal) dos triângulos [tex3][\triangle BCP]:[\triangle CAP]: [\triangle ABP][/tex3] . Com essa definição, obtemos os resultados notáveis:

O baricentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é dado por [tex3]G = (1:1:1) = \frac{A+B+C}3[/tex3]
O incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é dado por [tex3]I = (a:b:c) = \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}[/tex3]
O A-exincentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é dado por [tex3]I_A = (-a:b:c)[/tex3]
O ortocentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é dado por [tex3]H = (\tg A : \tg B: \tg C) = \frac{A\tg A +B \tg B+C\tg C }{\tg A +\tg B+\tg C }[/tex3]
O circuncentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é [tex3]O = (\sen (2A) :\sen (2B) :\sen (2C) )[/tex3] .

Notação de Conway para triângulos:

Dado um [tex3]\triangle ABC[/tex3] , definimos o número [tex3]S_\phi = 2S \cdot \cotg (\phi)[/tex3] para um certo ângulo [tex3]\phi[/tex3] . Sendo que [tex3]2S = bc \sen (A) = ab \sen(C) = ac \sen (B)[/tex3] é o dobro da área do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .

Em particular, para [tex3]A = \angle BAC[/tex3] , temos [tex3]S_A = bc \sen (A) \cotg(A) = bc \cos (A) = \frac{b^2+c^2-a^2}2[/tex3] . Analogamente: [tex3]S_B = \frac{a^2+c^2-b^2}2[/tex3] e [tex3]S_C = \frac{a^2+b^2-c^2}2[/tex3] . A coordenadas do ortocentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] podem ser expressas como [tex3](\frac1{S_A}:\frac1{S_B}:\frac1{S_C})[/tex3] e o circuncentro como [tex3](a^2S_A:b^2S_B:c^2S_C)[/tex3] .

7-) Ponto no infinito de retas perpendiculares: dada uma reta [tex3]\ell[/tex3] , cujo ponto no infinito seja dado por [tex3]\infty _\ell = (x_\ell:y_\ell:z_\ell)[/tex3] , então o ponto no infinito das retas perpendiculares a [tex3]\ell[/tex3] ([tex3]\infty' = (x':y':z')[/tex3] ) satisfaz a equação:

[tex3]S_A x_{\ell}x' +S_B y_{\ell}y' +S_C z_{\ell}z' =0[/tex3]

lembrando que pontos no infinito têm sempre soma zero de suas coordenadas.

8 -) Coordenadas baricêntricas de vetores: Imagine um vetor [tex3]\vec v[/tex3] no plano. Escolha um ponto [tex3]O[/tex3] qualquer para ser sua origem e o ponto [tex3]P = O + \vec v[/tex3] será sua extremidade. Definimos as coordenadas baricêntricas do vetor [tex3]\vec v[/tex3] como sendo as diferenças das respectivas coordenadas baricêntricas normalizadas (balanceadas de forma que a soma das coordenadas de ambos seja igual a [tex3]1[/tex3] ) dos pontos [tex3]O[/tex3] e [tex3]P[/tex3] . Pode-se notar que as somas das coordenadas dos vetores são sempre zero, logo, são como os pontos no infinito.

9-) os vetores [tex3]\vec{v_1} = (x_1:y_1:z_1)[/tex3] e [tex3]\vec{v_2} = (x_2:y_2:z_2)[/tex3] são perpendiculares se, e somente se:

[tex3]a^2(y_1z_2+y_2z_1) +b^2(x_1z_2+x_2z_1) +c^2(y_1x_2+y_2x_1) =0[/tex3] ([tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são as medidas dos lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3] )

10-) o módulo do vetor [tex3]\vec v = (x:y:z)[/tex3] é dado por:

[tex3]|v|^2 = -a^2yz-b^2xz-c^2xy[/tex3]

Lembre-se que [tex3]x+y+z=0[/tex3] .

11-) A equação geral de um círculo é dada por:

[tex3]-a^2yz -b^2xz-c^2xy + (x+y+z)(ux+vy+wz) = 0[/tex3] para constantes [tex3]u,v[/tex3] e [tex3]w[/tex3] arbitrárias.

Em particular, a equação do circuncírculo do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é dada por:

[tex3]a^2yz+b^2xz+c^2xy = 0[/tex3]

12-) Fórmula de Conway:

: Conwayequation.png (8.47 KiB) Exibido 1137 vezes

Definimos os ângulos de balanço do ponto [tex3]P[/tex3] como sendo [tex3]\theta = \angle CBP \geq -\frac{\pi}2[/tex3] e [tex3]\phi = \angle BCP \leq \frac{\pi}2[/tex3] . O sinal de [tex3]\theta[/tex3] depende da orientação do ângulo [tex3]\angle CBA[/tex3] ; se ambos tiverem a mesma orientação, [tex3]\theta[/tex3] será positivo, do contrário, será negativo. Então, as coordenadas baricêntricas do ponto [tex3]P[/tex3] são: [tex3]P =(-a^2:S_C+S_{\phi}:S_B + S_{\theta})[/tex3] .

Mais umas coisinhas. Deste link.

1-) Produto escalar entre dois vetores:

Dados os vetores [tex3]\vec v = (x_1:y_1:z_1)[/tex3] e [tex3]\vec{ w} = (x_2:y_2:z_2)[/tex3] . Então, o produto escalar entre eles é:

[tex3]\vec v \cdot \vec w = -\frac12[a^2(z_1y_2+z_2y_1) +b^2(z_1x_2+z_2x_1) +c^2(x_1y_2+x_2y_1) ][/tex3]

2-) Equação do círculo de centro [tex3](\alpha,\beta,\gamma)[/tex3] e raio [tex3]\rho[/tex3] :

A equação é dada por:

[tex3]a^2yz+b^2xz+c^2xy - (x+y+z)\sum_{ciclico}[(\frac{b^2\gamma^2 + 2S_A\beta\gamma + c^2\beta^2}{(\alpha+\beta+\gamma)^2}-\rho^2 )x] = 0[/tex3]

ou:

[tex3]S_A(x-\alpha)^2 + S_B(y-\beta)^2 + S_C(z-\gamma)^2 = \rho^2[/tex3]

3-) Equação da reta tangente ao círculo [tex3]a^2yz+b^2xz+c^2xy+(x+y+z)(px+qy+rz) = 0[/tex3] no ponto [tex3]P=(x_0:y_0:z_0)[/tex3]:

[tex3]a^2(y_0z+yz_0)+b^2(x_0z+z_0x)+c^2(x_0y+xy_0)+(x_0+y_0+z_0)(px+qy+rz)+(x+y+z)(px_0+qy_0+rz_0) = 0[/tex3]

usualmente, se representa a reta [tex3]\ell: ux+vy+wz = 0[/tex3] assim [tex3]\ell = [u:v:w][/tex3] . Notação que faz jus à dualidade ponto e reta no sistema baricêntrico. No caso, a reta tangente em [tex3]P[/tex3] , supracitada, pode ser escrita como:

[tex3][2px_0 + (c^
2 + p + q)y_0 + (b^
2 + r + p)z_0 : (c^
2 + p + q)x_0 + 2qy_0 + (a
^2 + q + r)z_0
: (b^
2 + r + p)x_0 + (a^
2 + q + r)y_0 + 2rz_0][/tex3]

4-) Potência de ponto em relação a um círculo:

Dado um círculo [tex3]\omega = \odot (S,\rho)[/tex3] . Denotemos por [tex3]p_{A,\omega}[/tex3] a potência do vértice [tex3]A[/tex3] em relação a [tex3]\omega[/tex3] ; analogamente [tex3]p_{B,\omega}[/tex3] e [tex3]p_{C,\omega}[/tex3] as potências de [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] .

Pode-se provar que a potência de um ponto [tex3]P = (x:y:z)[/tex3] em relação a [tex3]\omega[/tex3] é dada por:

[tex3]p_{P,\omega} = (x+y+z)(p_{A,\omega}x+p_{B ,\omega}y+p_{C,\omega}z) -a^2yz-b^2xz-c^2xy[/tex3]

Podemos, então, definir as coordenadas baricêntricas de um círculo pelos números:

[tex3]x = \frac{p_{A,\omega}}{2S},y = \frac{p_{B,\omega}}{2S},z = \frac{p_{C,\omega}}{2S}[/tex3]

sendo [tex3]2S[/tex3] o dobro da área do [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Note que esses coeficientes são os números [tex3]u,v,w[/tex3] da equação geral do círculo: [tex3](x+y+z)(ux+vy+wz)-a^2yz-b^2xz-c^2xy = 0[/tex3] .

Dado um círculo [tex3]\omega[/tex3] de coordenadas [tex3](x:y:z)[/tex3] e centro [tex3](x_0:y_0:z_0)[/tex3] com raio [tex3]R[/tex3] , temos:

[tex3]p_{A,\omega} = x \cdot 2S = S_A(1-x_0)^2+S_By_0^2+S_Cz_0^2 - R^2[/tex3]
[tex3]p_{B,\omega} = y \cdot 2S = S_Ax_0^2+S_B(1-y_0)^2+S_Cz_0^2 - R^2[/tex3]
[tex3]p_{C,\omega} = z \cdot 2S = S_Ax_0^2+S_By_0^2+S_C(1-z_0)^2 - R^2[/tex3]

5-) Dois círculos [tex3](x:y:z)[/tex3] e [tex3](x':y':z')[/tex3] respectivamente de raios [tex3]r[/tex3] e [tex3]r'[/tex3] são concêntricos se, e somente se:
[tex3]x-x'=y-y'=z-z' = \frac{r^2-r'^2}{2S}[/tex3]

Definamos agora as cotangentes dos ângulos do [tex3]\triangle ABC[/tex3] : [tex3]\alpha := \cotg(A) = \frac{S_A}{2S}, \beta := \cotg(B) = \frac{S_B}{2S}[/tex3] e [tex3]\gamma := \cotg(C) = \frac{S_C}{2S}[/tex3] para as seguintes fórmulas.

6-) Dados os pontos [tex3]P_1 = (x_1 : y_1:z_1)[/tex3] e [tex3]P_2 = (x_2 : y_2:z_2)[/tex3] , então o círculo [tex3](x:y:z)[/tex3] de diâmetro [tex3]P_1P_2[/tex3] é dado pelas equações:

[tex3] x = \alpha x_1x_2+\beta y_1y_2+\gamma z_1z_2 + \alpha(1-x_1-x_2)[/tex3]
[tex3] y = \alpha x_1x_2+\beta y_1y_2+\gamma z_1z_2 + \beta(1-y_1-y_2)[/tex3]
[tex3] z = \alpha x_1x_2+\beta y_1y_2+\gamma z_1z_2 + \gamma(1-z_1-z_2)[/tex3]

7-) Dois círculos [tex3](\lambda_1:\mu_1:\nu_1)[/tex3] e [tex3](\lambda_2:\mu_2:\nu_2)[/tex3] são ortogonais se, e somente se:

[tex3]α(\mu_1 − \nu_1)(\mu_2 − \nu_2) + β(\mu_1 − \lambda_1)(\mu_2 − \lambda_2) + γ(\lambda_1 − \mu_1)(\lambda_2 − \mu_2)
−(1 − β\gamma)(\lambda_1 + \lambda_2) − (1 − γα)(\mu_1 + \mu_2) − (1 − αβ)(\nu_1 + \nu_2)
+α + β + γ − αβγ = 0[/tex3]

8 -) O eixo radical dos círculos [tex3](x_1:y_1:z_1)[/tex3] e [tex3](x_2:y_2:z_2)[/tex3] é a reta [tex3][x_1-x_2:y_1-y_2:z_1-z_2][/tex3] .

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