Lema de Arquimedes - Demonstração
Enviado: Qui 03 Fev, 2022 09:51
Seja [tex3]\gamma[/tex3]
Prova:
Por construção, [tex3]AC[/tex3] é simediana do [tex3]\triangle ADB[/tex3] (simediana é o conjugado isogonal da mediana - a prova que [tex3]C[/tex3] é simediana está na página 3 deste pdf sensacional). Como [tex3]\angle AED = \angle ADB = 90^{\circ}[/tex3] e [tex3]\angle ADE = \angle ABD[/tex3] , então [tex3]\triangle ADE \sim \triangle ABD[/tex3] , donde a reta [tex3]AF[/tex3] se torna mediana do [tex3]\triangle ADE[/tex3] (porque é como se os ângulos da base [tex3]BD[/tex3] trocassem de lugar, a mediana de [tex3]BD[/tex3] vira simediana de [tex3]DE[/tex3] ); logo, [tex3]DF=FE \,\, _\square[/tex3] .
um semicírculo de diâmetro [tex3]AB[/tex3]
. Seja [tex3]C[/tex3]
um ponto na tangente a [tex3]\gamma[/tex3]
por [tex3]B[/tex3]
, seja [tex3]CD[/tex3]
tangente a [tex3]\gamma[/tex3]
por [tex3]C[/tex3]
, com [tex3]D \in \gamma[/tex3]
, seja [tex3]E[/tex3]
o pé da altura de [tex3]D[/tex3]
em relação a [tex3]AB[/tex3]
e [tex3]F = AC \cap DE[/tex3]
. Então [tex3]F[/tex3]
bissecta o segmento [tex3]DE[/tex3]
([tex3]EF=FD[/tex3]
).Prova:
Por construção, [tex3]AC[/tex3] é simediana do [tex3]\triangle ADB[/tex3] (simediana é o conjugado isogonal da mediana - a prova que [tex3]C[/tex3] é simediana está na página 3 deste pdf sensacional). Como [tex3]\angle AED = \angle ADB = 90^{\circ}[/tex3] e [tex3]\angle ADE = \angle ABD[/tex3] , então [tex3]\triangle ADE \sim \triangle ABD[/tex3] , donde a reta [tex3]AF[/tex3] se torna mediana do [tex3]\triangle ADE[/tex3] (porque é como se os ângulos da base [tex3]BD[/tex3] trocassem de lugar, a mediana de [tex3]BD[/tex3] vira simediana de [tex3]DE[/tex3] ); logo, [tex3]DF=FE \,\, _\square[/tex3] .