Dado o [tex3]\triangle ABC[/tex3]
Prova:
Sejam [tex3]a := \angle BAC, b := \angle ABC[/tex3]
e [tex3]c := \angle ACB[/tex3]
. Como o [tex3]\triangle FAE[/tex3]
é [tex3]A-[/tex3]
isósceles (por Pitot), então [tex3]\angle AFE = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3]
.
Repare que [tex3]\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{(b+c)}2 = 180^{\circ} - \frac{(180^{\circ}-a)}2 = 90^{\circ} + \frac a2[/tex3]
logo [tex3]\angle BOG = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3]
(suplementar ao [tex3]\angle BOC[/tex3]
), portanto [tex3]\angle GBO = \frac a2[/tex3]
.
Note que [tex3]BGFO[/tex3]
é cíclico, pois [tex3]\angle BGO = \angle BFO = 90^{\circ}[/tex3]
, logo [tex3]\angle GFB = \angle GOB = 90^{\circ} - \frac{a}2 = \angle AFE [/tex3]
, logo [tex3]E,F[/tex3]
e [tex3]G[/tex3]
são alinhados.
Este resultado é conhecido como o lema dos ângulos retos na corda do incírculo.
Pode-se mostrar, ainda, que [tex3]G[/tex3]
está na reta suporte da base média relativa ao vértice [tex3]C[/tex3]
do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
:
Sejam [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
os pontos médios de [tex3]BC[/tex3]
e [tex3]AB[/tex3]
respectivamente e seja [tex3]G' = MN \cap CI[/tex3]
. Note que [tex3]\angle G'CD = \frac{\angle B}2[/tex3]
e, como [tex3]MN \parallel AC[/tex3]
, [tex3]\angle CMG' = 180^{\circ} - \angle B[/tex3]
, logo [tex3]\angle CG'M = \frac{\angle B}2[/tex3]
e então [tex3]BM = CM = MG'[/tex3]
, logo [tex3]M[/tex3]
é circuncentro do [tex3]\triangle BCG'[/tex3]
e então [tex3]\angle BG'C = 90^{\circ}[/tex3]
, logo [tex3]G=G'[/tex3]
.
; seja [tex3]O[/tex3]
o seu incentro, sejam [tex3]D,E[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
os pontos de contato de seu incírculo com os lados [tex3]BC, AC[/tex3]
e [tex3]AB[/tex3]
respectivamente, seja [tex3]G[/tex3]
o pé da altura de [tex3]B[/tex3]
em relação à bissetriz interna do vértice [tex3]C[/tex3]
no [tex3]\triangle ABC[/tex3]
; então [tex3]G,E[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
são colineares.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
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Mai 2021
08
21:55
Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Editado pela última vez por FelipeMartin em 09 Mai 2021, 08:16, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Abr 2023
16
10:19
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicações desse teorema:
viewtopic.php?t=94429
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Abr 2023
16
10:25
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema :
viewtopic.php?p=261088#p261088
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Mai 2023
20
10:21
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema
viewtopic.php?f=3&t=105801
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Mai 2023
27
16:00
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema:
viewtopic.php?f=3&t=105915&p=291334#p291334
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Jun 2023
26
15:44
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.
viewtopic.php?f=3&t=106227
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