DemonstraçõesDemonstração - Fórmula de Bretschneider

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Demonstração - Fórmula de Bretschneider

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Demonstração existente no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria, álgebra e uma pequena parte da demonstração da fórmula de Brahmagupta, como forma de encurtar nosso serviço nesse tópico.

Queremos demonstrar que a área de qualquer quadrilátero pode ser expressa em função dos lados e de dois ângulos opostos, todos utilizados na fórmula de Bretschneider: [tex3]S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2\theta }[/tex3]

DEMONSTRAÇÃO:
Seja ABCD um quadrilátero qualquer, com um par de ângulos opostos dados por alfa e beta e uma diagonal x.
Representa-se:
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Define-se: [tex3]\theta =\frac{\alpha+ \beta }{2}[/tex3]
Podemos expressar as áreas dos triângulos ABC e ACD como:
[tex3]S_{ABC}=\frac{absen\alpha }{2}\\
S_{ACD}=\frac{cdsen\beta }{2} [/tex3]

Mas, obviamente, a área do quadrilátero é a soma dessas duas áreas.
[tex3]S_{ABCD}=\frac{absen\alpha }{2}+\frac{cdsen\beta }{2}\\[/tex3]
Multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado, obteremos:
[tex3]4S_{ABCD}^2=(absen\alpha +cdsen\beta )^2=a^2b^2sen^2\alpha +2abcd.sen\alpha. sen\beta +c^2d^2sen^2\beta [/tex3]
Vamos guardar, a princípio, essa relação.

Podemos aplicar a lei dos cossenos nos triângulos ABC e ACD, pois x é uma diagonal comum a ambos.
[tex3]x^2=a^2+b^2-2abcos\alpha \\
x^2=c^2+d^2-2cdcos\beta\\
\rightarrow 2abcos\alpha -2cdcos\beta =a^2+b^2-c^2-d^2\\
abcos\alpha -cdcos\beta =\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2} \\[/tex3]
Elevando ambos os lados ao quadrado,
[tex3]a^2b^2cos^2\alpha -2abcd.cos\alpha.cos\beta +c^2d^2cos^2\beta =\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4} [/tex3]

Agora basta somar as duas relações que obtivemos (a primeira por área e a segunda pela lei dos cossenos):
[tex3]a^2b^2-2abcd(cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta )+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\[/tex3]
Mas lembre-se que definimos [tex3]\theta =\frac{\alpha+ \beta }{2}[/tex3]
Então podemos substituir aquela expressão trigonométrica por uma mais simples e facilmente calculável.
[tex3]a^2b^2-2abcd.cos(2\theta )+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\
a^2b^2-2abcd(2cos^2\theta -1)+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\
a^2b^2-4abcdcos^2\theta -2abcd+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\
(ab-cd)^2-4abcdcos^2\theta =\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\\\
S_{ABCD}^2=\frac{(ab-cd)^2}{4}-\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{16}-abcdcos^2\theta[/tex3]

Agora é a parte que utilizamos uma fração da demonstração que já fizemos para Brahmagupta, neste tópico: viewtopic.php?f=3&t=93418

Observe: [tex3]S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)][(c^2+2cd+d^2)-(a^2-2ab+b^2)]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}(a+b+c-d)(a+b-c+d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}2(p-d)2(p-c)2(p-a)2(p-b)}\\
S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex3]
A explicação para essa parte está melhor no tópico citado.

A conclusão que precisamos é que
[tex3]\frac{(ab-cd)^2}{4}-\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{16}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)[/tex3]

E por fim, chegamos na fórmula de Bretschneider.
[tex3]S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2\theta }[/tex3]
onde theta é a média aritmética dos ângulos opostos.



"Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram de que o destino de um país depende da educação dos jovens"
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Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Ter 06 Abr, 2021 16:33 por Ittalo25

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Re: Demonstração - Fórmula de Bretschneider

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Titu Andreescu - Números complexos de A a Z, pág 225, problema 23
"Prove que em qualquer quadrilátero ABCD,
[tex3]AC^2.BD^2=AB^2.CD^2+AD^2.BC^2-2AB.BC.CD.DA.cos(A+C)[/tex3]
(Relação de Bretschneider ou primeira generalização do teorema de Ptolomeu)"

Sejam [tex3]Z_a,Z_b,Z_c,Z_d[/tex3] as coordenadas dos pontos A, B, C, D no plano complexo com origem em A e com o ponto B sobre o eixo real positivo. (Qualquer outra figura pode ser obtida dessa por isometria e homotetia)

Usando a identidade
[tex3](Z_a-Z_c)(Z_b-Z_d)=-(Z_a-Z_b)(Z_d-Z_c)-(Z_a-Z_d)(Z_c-Z_b)\\
\overline{(Z_a-Z_c)(Z_b-Z_d)}=\overline{-(Z_a-Z_b)(Z_d-Z_c)-(Z_a-Z_d)(Z_c-Z_b)}\\
[/tex3]

Desenvolvendo o produto, obtemos [tex3]AC^2.BD^2=AB^2.DC^2+AD.BC^2+z+\overline{z}\\
\text{onde } z=(Z_a-Z_b)(Z_d-Z_c)(\overline{Z_a-Z_d)(Z_c-Z_b)}[/tex3]

Basta provar que [tex3]z+\overline{z}=-2AB.BC.CD.DA.cos(A+C)[/tex3]

Temos [tex3]Z_a-Z_b=AB(cos\pi +isen\pi )\\
Z_d-Z_c=DC[cos(2\pi -B-C)+isen(2\pi -B-C)]\\
\overline{Z_a-Z_d}=DA[cos(\pi -A)+isen(\pi -A)]\\
\overline{Z_c-Z_d}=BC[cos(\pi +B)+isen(\pi +B)][/tex3]

Então
[tex3]z+\overline{z}=2\mathbb{R}(z)=2.AB.BC.CD.DA.cos(5\pi -A-C)=-2.AB.BC.CD.DA.cos(A+C)[/tex3]



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