MATEMÁTICA APLICADA ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido

[ClearMat]

Num clube há duas piscinas : Aberta(A) e Esportiva(E).
Foi imposta uma regra que limita o quanto cada boma deverá ser ligada, conforme o seguinte :
a) durante o mês (30 dias), caso uma bomba seja ligada num dia Di, ela poderá ficar ligada até no máximo o último dia do mês (tempo de operação).
b) as duas bombas devem ser ligadas simultaneamente, mas podem ser programadas com tempos de operação diferentes
Esquematicamente, tem-se
Dia(i) Aberta(dias) Esportiva(dias)
1 1 1
2 1 2
3 1 4
... ... ...

de modo que :
Dia(i) + Aberta(dias) <= 30 e
Dia(i) + Esportiva(dias) <=30

A pergunta é : de quantas formas diferentes poderei ligar as piscinas no intervalo de 30 dias ?

Agradeço a ajuda pessoal !!

Claramatematica.

[MateusQqMD]

Tome dia (i) como o dia em que as bombas são ligadas, aberta (dias) o número de dias que a bomba A fica ligada e esportiva (E) o número de dias que a bomba E fica ligada.

Assim, fica fácil ver que o queremos é representado por

[tex3]

\begin{array}{ccc}

\text{dia (i)} & \text{aberta (possibilidades)} & \text{esportiva (possibilidades)} \\

1 & 29 & 29 \\

2 & 28 & 28 \\

\vdots & \vdots & \vdots \\

29 & 1 & 1 \\

30 & 0 & 0 \\

\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

\begin{array}{ccc}

\text{dia (i)} & \text{aberta (possibilidades)} & \text{esportiva (possibilidades)} \\

1 & 29 & 29 \\

2 & 28 & 28 \\

\vdots & \vdots & \vdots \\

29 & 1 & 1 \\

30 & 0 & 0 \\

\end{array}
[/tex3]

Logo, o número de possibilidades é [tex3]1 +1^2 + 2^2 + 3^2 + \ ... \ + 29^2 = 8556[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 +1^2 + 2^2 + 3^2 + \ ... \ + 29^2 = 8556[/tex3]

[ClearMat]

Tome dia (i) como o dia em que as bombas são ligadas, aberta (dias) o número de dias que a bomba A fica ligada e esportiva (E) o número de dias que a bomba E fica ligada.

Assim, fica fácil ver que o queremos é representado por

[tex3]

\begin{array}{ccc}

\text{dia (i)} & \text{aberta (possibilidades)} & \text{esportiva (possibilidades)} \\

1 & 29 & 29 \\

2 & 28 & 28 \\

\vdots & \vdots & \vdots \\

29 & 1 & 1 \\

30 & 0 & 0 \\

\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

\begin{array}{ccc}

\text{dia (i)} & \text{aberta (possibilidades)} & \text{esportiva (possibilidades)} \\

1 & 29 & 29 \\

2 & 28 & 28 \\

\vdots & \vdots & \vdots \\

29 & 1 & 1 \\

30 & 0 & 0 \\

\end{array}
[/tex3]

Logo, o número de possibilidades é [tex3]1 +1^2 + 2^2 + 3^2 + \ ... \ + 29^2 = 8556[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 +1^2 + 2^2 + 3^2 + \ ... \ + 29^2 = 8556[/tex3]

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MateusQqmd

sim, é isso mesmo ! Valeu pela explicação simples e bem didática !

Mas , como podemos representar algebricamente esta solução ?

Parece ser algo como a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais !

A soma dos N primeiros natuais é Sn = n * (n+1) / 2 .

Qual seria então a soma dos [tex3]n^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n^{2}[/tex3]

primeiros números naturias ?

[MateusQqMD]

Basta colocar "soma dos quadrados dos naturais" no google

[ClearMat]

Basta colocar "soma dos quadrados dos naturais" no google

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MateusQqMD

sim , eu busquei e achei a fórmula e algumas demonstrações, inclusive um material aqui neste mesmo forum , do Prof. Caju.

Fui mais a fundo para buscar a [tex3]\sum_{i=1}^{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{i=1}^{n}[/tex3]

[tex3]x^{k}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{k}[/tex3]

, ou seja , a somatória da k-ésima potência dos n primeiro números naturais.

Encontrei uma série de trabalhos e demonstrações, mas nenhum com uma fórmula fechada ou com uma conclusão de um método único.

Tem alguma recomendação de como posso encontrar esta fórmula : somatória da k-ésima potencia dos n primeiros números naturais ?

Valeu !!

[ALANSILVA]

https://www.youtube.com/watch?v=SfOgDckNMQk