Num clube há duas piscinas : Aberta(A) e Esportiva(E).
Foi imposta uma regra que limita o quanto cada boma deverá ser ligada, conforme o seguinte :
a) durante o mês (30 dias), caso uma bomba seja ligada num dia Di, ela poderá ficar ligada até no máximo o último dia do mês (tempo de operação).
b) as duas bombas devem ser ligadas simultaneamente, mas podem ser programadas com tempos de operação diferentes
Esquematicamente, tem-se
Dia(i) Aberta(dias) Esportiva(dias)
1 1 1
2 1 2
3 1 4
... ... ...
de modo que :
Dia(i) + Aberta(dias) <= 30 e
Dia(i) + Esportiva(dias) <=30
A pergunta é : de quantas formas diferentes poderei ligar as piscinas no intervalo de 30 dias ?
Agradeço a ajuda pessoal !!
Claramatematica.
MATEMÁTICA APLICADA ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2018
01
03:17
Análise Combinatória
Editado pela última vez por ClearMat em 01 Set 2018, 03:23, em um total de 3 vezes.
- MateusQqMD
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Set 2018
01
13:05
Re: Análise Combinatória
Tome dia (i) como o dia em que as bombas são ligadas, aberta (dias) o número de dias que a bomba A fica ligada e esportiva (E) o número de dias que a bomba E fica ligada.
Assim, fica fácil ver que o queremos é representado por
Logo, o número de possibilidades é [tex3]1 +1^2 + 2^2 + 3^2 + \ ... \ + 29^2 = 8556[/tex3]
Assim, fica fácil ver que o queremos é representado por
[tex3]
\begin{array}{ccc}
\text{dia (i)} & \text{aberta (possibilidades)} & \text{esportiva (possibilidades)} \\
1 & 29 & 29 \\
2 & 28 & 28 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
29 & 1 & 1 \\
30 & 0 & 0 \\
\end{array}
[/tex3]
\begin{array}{ccc}
\text{dia (i)} & \text{aberta (possibilidades)} & \text{esportiva (possibilidades)} \\
1 & 29 & 29 \\
2 & 28 & 28 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
29 & 1 & 1 \\
30 & 0 & 0 \\
\end{array}
[/tex3]
Logo, o número de possibilidades é [tex3]1 +1^2 + 2^2 + 3^2 + \ ... \ + 29^2 = 8556[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Set 2018
01
14:41
Re: Análise Combinatória
==========================================MateusQqMD escreveu: ↑01 Set 2018, 13:05 Tome dia (i) como o dia em que as bombas são ligadas, aberta (dias) o número de dias que a bomba A fica ligada e esportiva (E) o número de dias que a bomba E fica ligada.
Assim, fica fácil ver que o queremos é representado por
[tex3]
\begin{array}{ccc}
\text{dia (i)} & \text{aberta (possibilidades)} & \text{esportiva (possibilidades)} \\
1 & 29 & 29 \\
2 & 28 & 28 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
29 & 1 & 1 \\
30 & 0 & 0 \\
\end{array}
[/tex3]
Logo, o número de possibilidades é [tex3]1 +1^2 + 2^2 + 3^2 + \ ... \ + 29^2 = 8556[/tex3]
MateusQqmd
sim, é isso mesmo ! Valeu pela explicação simples e bem didática !
Mas , como podemos representar algebricamente esta solução ?
Parece ser algo como a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais !
A soma dos N primeiros natuais é Sn = n * (n+1) / 2 .
Qual seria então a soma dos [tex3]n^{2}[/tex3] primeiros números naturias ?
Editado pela última vez por ClearMat em 01 Set 2018, 21:01, em um total de 1 vez.
- MateusQqMD
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Set 2018
01
23:30
Re: Análise Combinatória
Basta colocar "soma dos quadrados dos naturais" no google
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Set 2018
02
15:16
Re: Análise Combinatória
----------------------------------------------------------------------------------------
MateusQqMD
sim , eu busquei e achei a fórmula e algumas demonstrações, inclusive um material aqui neste mesmo forum , do Prof. Caju.
Fui mais a fundo para buscar a [tex3]\sum_{i=1}^{n}[/tex3] [tex3]x^{k}[/tex3] , ou seja , a somatória da k-ésima potência dos n primeiro números naturais.
Encontrei uma série de trabalhos e demonstrações, mas nenhum com uma fórmula fechada ou com uma conclusão de um método único.
Tem alguma recomendação de como posso encontrar esta fórmula : somatória da k-ésima potencia dos n primeiros números naturais ?
Valeu !!
- ALANSILVA
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Set 2018
14
08:12
Re: Análise Combinatória
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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