trace uma tangente comum (que não passe por [tex3]T[/tex3]
) dos círculos: [tex3]\odot (A,AT)[/tex3]
e [tex3]\odot (B,BT)[/tex3]
e seja [tex3]K[/tex3]
o ponto médio dos pontos de contato dessas tangentes. Sabemos que a distância entre esses pontos de contato é [tex3]2\sqrt{Rr}[/tex3]
então a distância de um deles até o ponto médio é [tex3]\sqrt{Rr}[/tex3]
. Além disso vou tomar como conhecido que [tex3]K[/tex3]
é circuncentro do triângulo retângulo formado pelos pontos de contato e por [tex3]T[/tex3]
logo [tex3]KT = \sqrt{Rr}[/tex3]
, porém este é o mesmo valor da altura do triângulo retângulo de vértices: A,B e o encontro da altura de T com o círculo (relações métricas).
Portanto K está na linha da reta tangente entre os dois círculos por [tex3]T[/tex3]
. Com um pouco de manipulação de ângulos (olhar para a reta AK que é uma bissetriz), percebemos que forma-se um ângulo de segmento em [tex3]K[/tex3]
de forma que [tex3]K[/tex3]
é ponto de tangência do círculo por [tex3]ABM[/tex3]
.
O que indica que os três círculos desenhados (excluindo o [tex3](MNL)[/tex3]) possuem um centro externo de homotetia em comum a partir do qual pode-se traçar as duas retas tangentes aos três círculos.
É dai que surgem as poucas simetrias que eu encontrei desse problema.
Sejam [tex3]c_1= (ABM), c_2 = \odot (A,AT), c_3 = \odot (B,BT)[/tex3]
Por exemplo: o teorema de Monge diz que a reta [tex3]NL[/tex3]
passa pelo centro de homotetia [tex3]X[/tex3]
entre [tex3]c_2[/tex3]
e [tex3]c_3[/tex3]
, [tex3]X = NL \cap AB[/tex3]
.
Pelo provado em negrito [tex3]X[/tex3]
também é centro de homotetia entre [tex3]c_1[/tex3]
e [tex3]c_2[/tex3]
.
Seja [tex3]Z[/tex3]
o segundo centro de homotetia entre o círculo menor e [tex3]c_1[/tex3]
então o teorema de monge diz que [tex3]Z,N,X[/tex3]
são alinhados, logo [tex3]Z \in NL[/tex3]
.
Além disso, [tex3]Z[/tex3]
está na reta unindo os centros do círculo menor com o o centro [tex3]c_1[/tex3]
(essa reta passa por [tex3]M[/tex3]
também).
Agora só falta ver porque [tex3]Z[/tex3]
está na perpendicular a [tex3]AB[/tex3]
por [tex3]T[/tex3]
.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Softwares Livres ⇒ Construção de círculos tangentes Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2223
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 20 vezes
- Agradeceram: 7 vezes
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2223
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 20 vezes
- Agradeceram: 7 vezes
Jun 2021
25
03:52
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, EUREKA!
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
A prova disso é meio longa
os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.
- 106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png (15.93 KiB) Exibido 2125 vezes
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
A prova disso é meio longa
os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 25 Jun 2021, 18:33, em um total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
Babi123
- Mensagens: 1371
- Registrado em: 28 Jul 2017, 21:05
- Última visita: 20-04-24
- Agradeceu: 1192 vezes
- Agradeceram: 271 vezes
Jun 2021
25
12:07
Re: Construção de círculos tangentes
FelipeMartin escreveu: ↑25 Jun 2021, 03:52 Babi123, EUREKA!
106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
A prova disso é meio longa
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2223
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 20 vezes
- Agradeceram: 7 vezes
Jun 2021
25
12:31
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, quase fez aniversário essa aqui.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
Babi123
- Mensagens: 1371
- Registrado em: 28 Jul 2017, 21:05
- Última visita: 20-04-24
- Agradeceu: 1192 vezes
- Agradeceram: 271 vezes
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2223
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 20 vezes
- Agradeceram: 7 vezes
Jun 2021
25
18:34
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, eu não estou entendendo mais nada, parece que funciona como eu fiz ali. Mas eu não tenho a MENOR ideia do porquê hahahahahaha
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2223
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 20 vezes
- Agradeceram: 7 vezes
Jun 2021
26
19:14
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, só parece mesmo, apesar da construção descrita na outra resposta ser visualmente uma solução (até escapou do algoritmo do geogebra). Ela é uma ilusão. Acho que esse problema vai fazer um aninho em breve.
https://math.stackexchange.com/question ... 02#4183902
https://math.stackexchange.com/question ... 02#4183902
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
Babi123
- Mensagens: 1371
- Registrado em: 28 Jul 2017, 21:05
- Última visita: 20-04-24
- Agradeceu: 1192 vezes
- Agradeceram: 271 vezes
Jun 2021
26
23:27
Re: Construção de círculos tangentes
FelipeMartin escreveu: ↑25 Jun 2021, 03:52 Babi123, EUREKA!
106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]
Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .
Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .
A prova disso é meio longa
- Construção - FELIPE.png (45.14 KiB) Exibido 2061 vezes
Já ficou lindo
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2223
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 20 vezes
- Agradeceram: 7 vezes
Jun 2021
27
01:00
Re: Construção de círculos tangentes
Babi123, mas está errado 
o método de apolônio é mais longo, mas funcionaria.
o método de apolônio é mais longo, mas funcionaria.φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2223
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 26-04-24
- Agradeceu: 20 vezes
- Agradeceram: 7 vezes
Ago 2021
08
01:58
Re: Construção de círculos tangentes
download/file.php?id=51904
o centro do círculo desejado é o ponto [tex3]X = \odot (A,AT + ET) \cap \odot (B,BT + ET)[/tex3] acima da reta [tex3]AB[/tex3] (esses círculos são fáceis de traçar ao se desenhar o ponto [tex3]E'[/tex3] : reflexo de [tex3]E[/tex3] em relação a [tex3]T[/tex3] ).
então com [tex3]Y = c_1 \cap \overline{AX}[/tex3] , você tem [tex3]\omega= \odot(X,XY)[/tex3]
essa construção funciona, pois o círculo desejado é arquemediano https://en.wikipedia.org/wiki/Schoch_line
Seja [tex3]D[/tex3] o pé da altura de [tex3]C[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] e seja [tex3]E[/tex3] o ponto médio de [tex3]TD[/tex3] .FelipeMartin escreveu: ↑25 Jun 2021, 03:52
Sejam:
- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3]
o centro do círculo desejado é o ponto [tex3]X = \odot (A,AT + ET) \cap \odot (B,BT + ET)[/tex3] acima da reta [tex3]AB[/tex3] (esses círculos são fáceis de traçar ao se desenhar o ponto [tex3]E'[/tex3] : reflexo de [tex3]E[/tex3] em relação a [tex3]T[/tex3] ).
então com [tex3]Y = c_1 \cap \overline{AX}[/tex3] , você tem [tex3]\omega= \odot(X,XY)[/tex3]
essa construção funciona, pois o círculo desejado é arquemediano https://en.wikipedia.org/wiki/Schoch_line
Editado pela última vez por FelipeMartin em 08 Ago 2021, 02:08, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 0 Respostas
- 477 Exibições
-
Última mensagem por FelipeMartin
-
- 0 Respostas
- 1865 Exibições
-
Última mensagem por FelipeMartin
-
- 1 Respostas
- 2867 Exibições
-
Última mensagem por Marcos
-
-
Nova mensagem Círculos tangentes entre si são homotéticos pelo ponto de contato
por Auto Excluído (ID:12031) » » em Demonstrações - 3 Respostas
- 4008 Exibições
-
Última mensagem por FelipeMartin
-
-
- 14 Respostas
- 6317 Exibições
-
Última mensagem por Babi123
