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FelipeMartin
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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

trace uma tangente comum (que não passe por [tex3]T[/tex3] ) dos círculos: [tex3]\odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]\odot (B,BT)[/tex3] e seja [tex3]K[/tex3] o ponto médio dos pontos de contato dessas tangentes. Sabemos que a distância entre esses pontos de contato é [tex3]2\sqrt{Rr}[/tex3] então a distância de um deles até o ponto médio é [tex3]\sqrt{Rr}[/tex3] . Além disso vou tomar como conhecido que [tex3]K[/tex3] é circuncentro do triângulo retângulo formado pelos pontos de contato e por [tex3]T[/tex3] logo [tex3]KT = \sqrt{Rr}[/tex3] , porém este é o mesmo valor da altura do triângulo retângulo de vértices: A,B e o encontro da altura de T com o círculo (relações métricas).
Portanto K está na linha da reta tangente entre os dois círculos por [tex3]T[/tex3] . Com um pouco de manipulação de ângulos (olhar para a reta AK que é uma bissetriz), percebemos que forma-se um ângulo de segmento em [tex3]K[/tex3] de forma que [tex3]K[/tex3] é ponto de tangência do círculo por [tex3]ABM[/tex3] .

O que indica que os três círculos desenhados (excluindo o [tex3](MNL)[/tex3]) possuem um centro externo de homotetia em comum a partir do qual pode-se traçar as duas retas tangentes aos três círculos.

É dai que surgem as poucas simetrias que eu encontrei desse problema.

Sejam [tex3]c_1= (ABM), c_2 = \odot (A,AT), c_3 = \odot (B,BT)[/tex3]
Por exemplo: o teorema de Monge diz que a reta [tex3]NL[/tex3] passa pelo centro de homotetia [tex3]X[/tex3] entre [tex3]c_2[/tex3] e [tex3]c_3[/tex3] , [tex3]X = NL \cap AB[/tex3] .
Pelo provado em negrito [tex3]X[/tex3] também é centro de homotetia entre [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] .
Seja [tex3]Z[/tex3] o segundo centro de homotetia entre o círculo menor e [tex3]c_1[/tex3] então o teorema de monge diz que [tex3]Z,N,X[/tex3] são alinhados, logo [tex3]Z \in NL[/tex3] .
Além disso, [tex3]Z[/tex3] está na reta unindo os centros do círculo menor com o o centro [tex3]c_1[/tex3] (essa reta passa por [tex3]M[/tex3] também).
Agora só falta ver porque [tex3]Z[/tex3] está na perpendicular a [tex3]AB[/tex3] por [tex3]T[/tex3] .



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FelipeMartin
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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Babi123, EUREKA!
106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png
106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png (15.93 KiB) Exibido 353 vezes
Sejam:

- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]

Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .

Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .

A prova disso é meio longa :) os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.

Última edição: FelipeMartin (Sex 25 Jun, 2021 18:33). Total de 1 vez.


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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por Babi123 »

FelipeMartin escreveu:
Sex 25 Jun, 2021 03:52
Babi123, EUREKA!

106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png

Sejam:

- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]

Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .



Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .

A prova disso é meio longa :) os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.
:shock::):):):):):)



FelipeMartin
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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Babi123, quase fez aniversário essa aqui.


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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por Babi123 »

Não importa o tempo. Obgda Felipe 😊



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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Babi123, eu não estou entendendo mais nada, parece que funciona como eu fiz ali. Mas eu não tenho a MENOR ideia do porquê hahahahahaha


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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Babi123, só parece mesmo, apesar da construção descrita na outra resposta ser visualmente uma solução (até escapou do algoritmo do geogebra). Ela é uma ilusão. Acho que esse problema vai fazer um aninho em breve.

https://math.stackexchange.com/question ... 02#4183902


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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por Babi123 »

FelipeMartin escreveu:
Sex 25 Jun, 2021 03:52
Babi123, EUREKA!

106133750_169989504524744_4998459709678797181_o_2.png

Sejam:

- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3] e [tex3]D = c_2 \cap c_0[/tex3]
- [tex3]E = CD \cap AB[/tex3]
- [tex3]c_3 = \odot(E,ET)[/tex3]

Então: [tex3]M = c_0 \cap c_3[/tex3] .

Seja [tex3]F[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] , então [tex3]L= c_2 \cap MF[/tex3] .
Seja [tex3]G[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] , então [tex3]N = c_1 \cap MG[/tex3] .

A prova disso é meio longa :) os centros de homotetia são fáceis de encontrar, basta ligar dois pares de pontos homólogos.



Construção - FELIPE.png
Construção - FELIPE.png (45.14 KiB) Exibido 288 vezes

Já ficou lindo :):lol::lol:



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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Babi123, mas está errado :( o método de apolônio é mais longo, mas funcionaria.


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Re: Construção de círculos tangentes

Mensagem não lida por FelipeMartin »

download/file.php?id=51904
FelipeMartin escreveu:
Sex 25 Jun, 2021 03:52

Sejam:

- [tex3]c_0[/tex3] o semicírculo
- [tex3]c_1 = \odot (A,AT)[/tex3] e [tex3]c_2 = \odot (B,BT)[/tex3]
- [tex3]C = c_1 \cap c_0[/tex3]
Seja [tex3]D[/tex3] o pé da altura de [tex3]C[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] e seja [tex3]E[/tex3] o ponto médio de [tex3]TD[/tex3] .

o centro do círculo desejado é o ponto [tex3]X = \odot (A,AT + ET) \cap \odot (B,BT + ET)[/tex3] acima da reta [tex3]AB[/tex3] (esses círculos são fáceis de traçar ao se desenhar o ponto [tex3]E'[/tex3] : reflexo de [tex3]E[/tex3] em relação a [tex3]T[/tex3] ).

então com [tex3]Y = c_1 \cap \overline{AX}[/tex3] , você tem [tex3]\omega= \odot(X,XY)[/tex3]

essa construção funciona, pois o círculo desejado é arquemediano https://en.wikipedia.org/wiki/Schoch_line

Última edição: FelipeMartin (Dom 08 Ago, 2021 02:08). Total de 2 vezes.


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