Livro "Um passeio pelos primos e outros números familiares" 1.4
Mostre que são primos entre si
215-1 e 210+1
Tentei usar o algoritmo de Euclides mas não encontro uma maneira de simplificar
Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2021
08
12:31
Teoria dos Números
Última edição: MateusQqMD (Qua 08 Dez, 2021 16:11). Total de 1 vez.
Razão: arrumar título.
Razão: arrumar título.
Jan 2022
20
15:45
Re: Teoria dos Números
A ideia é usar o algoritmo de Euclides mesmo e lembrar que,
se [tex3]a,b\in\mathbb{Z},[/tex3] então [tex3]\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(-a,b)=\text{mdc}(a,-b)=\text{mdc}(-a,-b).[/tex3]
Agora, veja que:
[tex3]2^{15}-1=(2^{10}+1)\cdot2^{5}-(2^{5}+1),[/tex3]
[tex3]2^{10}+1=(2^{5}+1)\cdot2^{5}-(2^{5}-1),[/tex3]
[tex3]2^{5}+1=(2^{5}-1)\cdot1+2,[/tex3]
[tex3]2^{5}-1=2\cdot2^{4}-1,[/tex3]
[tex3]2=1\cdot2+0.[/tex3]
Portanto, [tex3]\text{mdc}(2^{15}-1,2^{10}+1)=1.[/tex3]
se [tex3]a,b\in\mathbb{Z},[/tex3] então [tex3]\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(-a,b)=\text{mdc}(a,-b)=\text{mdc}(-a,-b).[/tex3]
Agora, veja que:
[tex3]2^{15}-1=(2^{10}+1)\cdot2^{5}-(2^{5}+1),[/tex3]
[tex3]2^{10}+1=(2^{5}+1)\cdot2^{5}-(2^{5}-1),[/tex3]
[tex3]2^{5}+1=(2^{5}-1)\cdot1+2,[/tex3]
[tex3]2^{5}-1=2\cdot2^{4}-1,[/tex3]
[tex3]2=1\cdot2+0.[/tex3]
Portanto, [tex3]\text{mdc}(2^{15}-1,2^{10}+1)=1.[/tex3]
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