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Mensagem não lidapor **poisedom** » 06 Dez 2021, 22:44 · Mensagem não lida por **poisedom** » 06 Dez 2021, 22:44

Alguém poderia dar uma ajuda na seguinte questão que obtive nesse material
https://www.obm.org.br/content/uploads/ ... miquel.pdf?

11. Seja G o baricentro do triângulo ABC e D, E, F as projeções ortogonais de G sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente. Prove que:
[tex3]\dfrac{4}{27}<\dfrac{áreaDEF}{áreaABC}\leq \dfrac{1}{4}[/tex3]

Acho que essa é complicada. Sejam [tex3]h_a,h_b[/tex3] e [tex3]h_c[/tex3] as alturas do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , então as alturas que partem do baricentro aos lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3] medem [tex3]\frac {h_a}3, \frac {h_b}3[/tex3] e [tex3]\frac {h_c}3[/tex3] .

O ângulo entre [tex3]\frac {h_a}3, \frac {h_b}3[/tex3] (no baricentro) é [tex3]180^{\circ} - \angle C[/tex3] .

Dai sai que a área do [tex3]DEF[/tex3] é [tex3]\frac1{18} (\sum_{cicli} h_ah_b \sen (\angle C))[/tex3]

fazendo [tex3]h_a =\frac{2S}a[/tex3] , sendo [tex3]S[/tex3] a área do [tex3]ABC[/tex3] :

[tex3]\frac2{9} (\sum_{cicli} \frac{S^2}{ab} \sen (\angle C))[/tex3]

[tex3]\frac{S}{9} (\sum_{cicli} \frac{2S}{ab} \sen (\angle C)) = \frac S9 \sum_{cicli} \sen ^2(\angle C)[/tex3]

pronto. A razão entre as areas pedidas é:

[tex3]\frac{\sen^2(A) + \sen^2 (B) + \sen^2 (C)}9[/tex3]

e dá pra resolver por trigonometria: [tex3]\cos (2x) = 1 - 2 \sen^2(x) \iff \sen^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2[/tex3] :

[tex3]\frac{3 - (\cos(2A) + \cos (2B) + \cos (2C))}{18}[/tex3]

para verificar os extremos de [tex3]\cos(2A) + \cos (2B) + \cos (2C)[/tex3] há diversas maneiras, vou fazer por multiplicadores de Lagrange:

[tex3]g(x,y,z) = \cos (2x) + \cos (2y) + \cos (2z) - \lambda(x+y+z-\pi)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial g}{ \partial x} = -2\sen(2x) - \lambda = 0 \iff -\frac{\lambda}2 = \sen (2x)[/tex3]
analogamente: [tex3]\sen (2x) = \sen (2y) = \sen (2z)[/tex3] que leva à solução [tex3]x=y=z = \frac{\pi}3[/tex3]

dando:
[tex3]\frac{3 + \frac32}{18} = \frac{\frac 92}{18} = \frac14[/tex3] que é o valor máximo.

O valor mínimo não pode ser atingido no meio do domínio, apenas nas bordas então: [tex3]A=B=0[/tex3] e [tex3]C = \pi[/tex3] :

[tex3]\cos (2A) + \cos (2B) + \cos (2C) = 1 + 1 + 1 = 3[/tex3] , mas ai a razão entre as áreas é [tex3]0[/tex3] .

Não sei se é erro de gabarito, mas parece que a razão entre essas áreas fica entre [tex3](0, \frac14][/tex3]

De fato, se você pegar um triângulo isósceles cujo ângulo central meça [tex3]120^{\circ}[/tex3] , a razão entre as áreas dará

[tex3]\frac5{36} < \frac4{27}[/tex3]

então é erro de gabarito mesmo. Uma pena, o pdf é muito bom apesar disso.

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