Alguém poderia dar uma ajuda na seguinte questão que obtive nesse material
https://www.obm.org.br/content/uploads/ ... miquel.pdf?
11. Seja G o baricentro do triângulo ABC e D, E, F as projeções ortogonais de G sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente. Prove que:
[tex3]\dfrac{4}{27}<\dfrac{áreaDEF}{áreaABC}\leq \dfrac{1}{4}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Triângulo Pedal
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 2197
- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 27-03-24
Dez 2021
07
09:41
Re: Triângulo Pedal
Acho que essa é complicada. Sejam [tex3]h_a,h_b[/tex3]
O ângulo entre [tex3]\frac {h_a}3, \frac {h_b}3[/tex3] (no baricentro) é [tex3]180^{\circ} - \angle C[/tex3] .
Dai sai que a área do [tex3]DEF[/tex3] é [tex3]\frac1{18} (\sum_{cicli} h_ah_b \sen (\angle C))[/tex3]
fazendo [tex3]h_a =\frac{2S}a[/tex3] , sendo [tex3]S[/tex3] a área do [tex3]ABC[/tex3] :
[tex3]\frac2{9} (\sum_{cicli} \frac{S^2}{ab} \sen (\angle C))[/tex3]
[tex3]\frac{S}{9} (\sum_{cicli} \frac{2S}{ab} \sen (\angle C)) = \frac S9 \sum_{cicli} \sen ^2(\angle C)[/tex3]
pronto. A razão entre as areas pedidas é:
[tex3]\frac{\sen^2(A) + \sen^2 (B) + \sen^2 (C)}9[/tex3]
e dá pra resolver por trigonometria: [tex3]\cos (2x) = 1 - 2 \sen^2(x) \iff \sen^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2[/tex3] :
[tex3]\frac{3 - (\cos(2A) + \cos (2B) + \cos (2C))}{18}[/tex3]
para verificar os extremos de [tex3]\cos(2A) + \cos (2B) + \cos (2C)[/tex3] há diversas maneiras, vou fazer por multiplicadores de Lagrange:
[tex3]g(x,y,z) = \cos (2x) + \cos (2y) + \cos (2z) - \lambda(x+y+z-\pi)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial g}{ \partial x} = -2\sen(2x) - \lambda = 0 \iff -\frac{\lambda}2 = \sen (2x)[/tex3]
analogamente: [tex3]\sen (2x) = \sen (2y) = \sen (2z)[/tex3] que leva à solução [tex3]x=y=z = \frac{\pi}3[/tex3]
dando:
[tex3]\frac{3 + \frac32}{18} = \frac{\frac 92}{18} = \frac14[/tex3] que é o valor máximo.
O valor mínimo não pode ser atingido no meio do domínio, apenas nas bordas então: [tex3]A=B=0[/tex3] e [tex3]C = \pi[/tex3] :
[tex3]\cos (2A) + \cos (2B) + \cos (2C) = 1 + 1 + 1 = 3[/tex3] , mas ai a razão entre as áreas é [tex3]0[/tex3] .
Não sei se é erro de gabarito, mas parece que a razão entre essas áreas fica entre [tex3](0, \frac14][/tex3]
e [tex3]h_c[/tex3]
as alturas do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
, então as alturas que partem do baricentro aos lados do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
medem [tex3]\frac {h_a}3, \frac {h_b}3[/tex3]
e [tex3]\frac {h_c}3[/tex3]
.O ângulo entre [tex3]\frac {h_a}3, \frac {h_b}3[/tex3] (no baricentro) é [tex3]180^{\circ} - \angle C[/tex3] .
Dai sai que a área do [tex3]DEF[/tex3] é [tex3]\frac1{18} (\sum_{cicli} h_ah_b \sen (\angle C))[/tex3]
fazendo [tex3]h_a =\frac{2S}a[/tex3] , sendo [tex3]S[/tex3] a área do [tex3]ABC[/tex3] :
[tex3]\frac2{9} (\sum_{cicli} \frac{S^2}{ab} \sen (\angle C))[/tex3]
[tex3]\frac{S}{9} (\sum_{cicli} \frac{2S}{ab} \sen (\angle C)) = \frac S9 \sum_{cicli} \sen ^2(\angle C)[/tex3]
pronto. A razão entre as areas pedidas é:
[tex3]\frac{\sen^2(A) + \sen^2 (B) + \sen^2 (C)}9[/tex3]
e dá pra resolver por trigonometria: [tex3]\cos (2x) = 1 - 2 \sen^2(x) \iff \sen^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2[/tex3] :
[tex3]\frac{3 - (\cos(2A) + \cos (2B) + \cos (2C))}{18}[/tex3]
para verificar os extremos de [tex3]\cos(2A) + \cos (2B) + \cos (2C)[/tex3] há diversas maneiras, vou fazer por multiplicadores de Lagrange:
[tex3]g(x,y,z) = \cos (2x) + \cos (2y) + \cos (2z) - \lambda(x+y+z-\pi)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial g}{ \partial x} = -2\sen(2x) - \lambda = 0 \iff -\frac{\lambda}2 = \sen (2x)[/tex3]
analogamente: [tex3]\sen (2x) = \sen (2y) = \sen (2z)[/tex3] que leva à solução [tex3]x=y=z = \frac{\pi}3[/tex3]
dando:
[tex3]\frac{3 + \frac32}{18} = \frac{\frac 92}{18} = \frac14[/tex3] que é o valor máximo.
O valor mínimo não pode ser atingido no meio do domínio, apenas nas bordas então: [tex3]A=B=0[/tex3] e [tex3]C = \pi[/tex3] :
[tex3]\cos (2A) + \cos (2B) + \cos (2C) = 1 + 1 + 1 = 3[/tex3] , mas ai a razão entre as áreas é [tex3]0[/tex3] .
Não sei se é erro de gabarito, mas parece que a razão entre essas áreas fica entre [tex3](0, \frac14][/tex3]
Última edição: FelipeMartin (Ter 07 Dez, 2021 09:45). Total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
- Mensagens: 2197
- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 27-03-24
Dez 2021
07
10:02
Re: Triângulo Pedal
De fato, se você pegar um triângulo isósceles cujo ângulo central meça [tex3]120^{\circ}[/tex3]
[tex3]\frac5{36} < \frac4{27}[/tex3]
então é erro de gabarito mesmo. Uma pena, o pdf é muito bom apesar disso.
, a razão entre as áreas dará[tex3]\frac5{36} < \frac4{27}[/tex3]
então é erro de gabarito mesmo. Uma pena, o pdf é muito bom apesar disso.
Última edição: FelipeMartin (Ter 07 Dez, 2021 12:47). Total de 3 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 3545 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 2 Respostas
- 953 Exibições
-
Última msg por mandycorrea
-
- 0 Respostas
- 148 Exibições
-
Última msg por magben
-
- 1 Respostas
- 3102 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 1 Respostas
- 389 Exibições
-
Última msg por petras