Olimpíadas ⇒ Teoria dos números Tópico resolvido

[careca]

Prove que, para todo n natural, existem n números inteiros consecutivos tais que nenhum é primo.

[Deleted User 23699]

Olá
No livro "Tópicos de Matemática IME-ITA-Olimpíadas", do Carlos A. Gomes e José Maria Gomes, tem esse problema pra n = 1000. Ele chama de "Deserto de primos"

Segue a solução do caso n = 1000.
"
Basta tomar os 1000 números
1001!+2
1001!+3
...
1001!+1001
Note que nenhum deles é primo, pois o primeiro é divisível por 2, o segundo por 3 e assim sucessivamente.
Assim, essa lista apresenta 1000 números naturais consecutivos tais que nenhum deles é primo.
"

A solução para um n genérico é imediata com isso
Tome os valores
(n+1)!+2
(n+1)!+3
...
(n+1)!+(n+1)
Também temos n primos consecutivos.