Olimpíadas ⇒ (AIME) funções Tópico resolvido

[SkyWalker17]

A função f definida por [tex3]f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}[/tex3]

, onde [tex3]a, b, c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a, b, c[/tex3]

e [tex3]d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d[/tex3]

são números reais não nulos.
Sendo [tex3]f(19) = 19, f(97) = 97[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(19) = 19, f(97) = 97[/tex3]

e [tex3]f(f(x)) = x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(f(x)) = x[/tex3]

para todo x exceto [tex3]\frac{-d}{c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-d}{c}[/tex3]

.

Determine o único número que não pertence a imagem de f.

Resposta

---

58

[rcompany]

[tex3]
\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}\\
y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\implies (yc-a)x=b-yd\implies x=\dfrac{-yd+b}{cy-a}\text{ para }y\neq\frac{a}{c}\\
\mathcal{D}_{f^{-1}}=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{a}{c}\right\}\text{, ie. }\frac{a}{c} \text{ é o único elemento de }\mathbb{R}\text{ sem antecedente por }f\\
\begin{array}{}
\forall x\neq-\dfrac{d}{c},\,f(f(x))=x&\implies f^{-1}(x)=f(x)\\
&\implies \dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{-dx+b}{cx-a}\\
&\implies acx^2-a^x+bcx-ab=-cdx^2+bcx-d^2x+bd\\
&\implies \left\{\begin{array}{}ac=-cd\\bc-a^2=bd-d^2\\-ab=bd\end{array}\right.\\
&\implies a=-d
\end{array}\\[72pt]

\begin{array}{}
\left.\begin{array}{}
f(19)=19\\
f(97)=97
\end{array}\right\}
&\implies
\left\{\begin{array}{}
19a+b=19^2c+19d\\
97a+b=97^2c+97d
\end{array}\right.\\
&\implies 78a=(97^2-19^2)c+78d\\
&\implies 156a=(97^2-19^2)c\quad\text{já que }a=-d\\
&\implies \dfrac{a}{c}=\dfrac{97^2-19^2}{156}=58

\end{array}\\[72pt]
\hspace{2cm}\mbox{O único elemento de $\mathbb{R}$ que não pertence a $f(\mathbb{R})$ é 58}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}\\
y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\implies (yc-a)x=b-yd\implies x=\dfrac{-yd+b}{cy-a}\text{ para }y\neq\frac{a}{c}\\
\mathcal{D}_{f^{-1}}=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{a}{c}\right\}\text{, ie. }\frac{a}{c} \text{ é o único elemento de }\mathbb{R}\text{ sem antecedente por }f\\
\begin{array}{}
\forall x\neq-\dfrac{d}{c},\,f(f(x))=x&\implies f^{-1}(x)=f(x)\\
&\implies \dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{-dx+b}{cx-a}\\
&\implies acx^2-a^x+bcx-ab=-cdx^2+bcx-d^2x+bd\\
&\implies \left\{\begin{array}{}ac=-cd\\bc-a^2=bd-d^2\\-ab=bd\end{array}\right.\\
&\implies a=-d
\end{array}\\[72pt]

\begin{array}{}
\left.\begin{array}{}
f(19)=19\\
f(97)=97
\end{array}\right\}
&\implies
\left\{\begin{array}{}
19a+b=19^2c+19d\\
97a+b=97^2c+97d
\end{array}\right.\\
&\implies 78a=(97^2-19^2)c+78d\\
&\implies 156a=(97^2-19^2)c\quad\text{já que }a=-d\\
&\implies \dfrac{a}{c}=\dfrac{97^2-19^2}{156}=58

\end{array}\\[72pt]
\hspace{2cm}\mbox{O único elemento de $\mathbb{R}$ que não pertence a $f(\mathbb{R})$ é 58}
[/tex3]