Olimpíadas ⇒ (EUA) Equação

[AngelitaB]

Sabendo que a equação [tex3]x^{4}[/tex3]

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[tex3]x^{4}[/tex3]

+ 4 [tex3]x^{3}[/tex3]

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[tex3]x^{3}[/tex3]

- 4cx + 4d=0 possui uma raiz dupla da forma a+b [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

com a<0 e b>0 e que c e d são números racionais. Então o valor de a²+b²+c²+d² é igual a:
a)4
b)5
c)6
d)7
e)8

Resposta

---

b

[Deleted User 23699]

Olá
Ele disse que a raiz é dupla, então a+bv3 aparece duas vezes
Por ser coeficiente racional, então a-bv3 também deve aparecer duas vezes
Veja que o polinômio dado é algo do tipo (x-a-bv3)²(x-a+bv3)²
seja
a(x) = x^4 + 4x³ - 4cx + 4d
e
b(x) = x^4 - 4ax³ + (-6b²+6a²)x² + (12ab²-4a³)x + (a^4 - 6a²b² + 9b^4)
comparando os termos em x³, a = -1
comparando os termos em x², a = - b [ENUNCIADO DISSE: a<0 e b>0]
então a = -1
b = 1
substituindo os termos em b(x)
-4c = -12+4
c = 2

e
4d = 1 -6 +9
d = 1

a = -1
b = 1
c = 2
d = 1
soma dos quadrados = 7

[Deleted User 23699]

Essa questão está resolvida, com os lemas usados todos demonstrados, no capítulo 3 do livro Elementos de Matemática VOL 4, do Marcelo Rufino. Foi uma questão do IME de 65/66, segundo o livro. Aparentemente, ele não chegou no gabarito.