Olimpíadas ⇒ (Singapura) Equação

[AngelitaB]

Quando a=1,2,3,.....,2010,2011, as raízes da equação x²-2x-a²-a=0 são ,([tex3]\alpha 1,\theta 1)[/tex3]

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[tex3]\alpha 1,\theta 1)[/tex3]

,([tex3]\alpha 2,\theta 2)[/tex3]

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[tex3]\alpha 2,\theta 2)[/tex3]

.......([tex3]\alpha 2011,\theta 2011)[/tex3]

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[tex3]\alpha 2011,\theta 2011)[/tex3]

. Determine o valor da soma dos algarismos de 2012[[tex3]\frac{1}{\alpha 1} + \frac{1}{\theta 1} + \frac{1}{\alpha 2} + \frac{1}{\theta 2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\alpha 1} + \frac{1}{\theta 1} + \frac{1}{\alpha 2} + \frac{1}{\theta 2}[/tex3]

+....+[tex3]\frac{1}{\alpha 2011} + \frac{1}{\theta 2011}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\alpha 2011} + \frac{1}{\theta 2011}[/tex3]

].
a)4
b)5
c)6
d)7
e)8

Resposta

---

a

[Tassandro]

AngelitaB,
De modo genérico
[tex3]\frac{1}{α_i}+\frac{1}{θ_i}=\frac{α_i+θ_i}{α_iθ_i}=\frac{2}{-a^2-a}=-2\(\frac{1}{a(a+1)}\)=-2\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{α_i}+\frac{1}{θ_i}=\frac{α_i+θ_i}{α_iθ_i}=\frac{2}{-a^2-a}=-2\(\frac{1}{a(a+1)}\)=-2\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)[/tex3]

Assim, teremos uma soma telescópica, e os únicos termos que restarão no somatório serão o primeiro e o último
Logo, a soma dada valerá
[tex3]2012\cdot (-2)\cdot\(1-\frac{1}{2012}\)=-4022[/tex3]

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[tex3]2012\cdot (-2)\cdot\(1-\frac{1}{2012}\)=-4022[/tex3]

Não sei se errei algo mas estou achando letra e