Olimpíadas ⇒ (India) Equação

[AngelitaB]

Se a, b e c são raízes da equação x³-(2+[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

)x-2=0. Sabendo que M=[tex3]\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+c}{1-c}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+c}{1-c}[/tex3]

,então o valor da exressão [tex3]\frac{7M+31}{\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{7M+31}{\sqrt{2}}[/tex3]

.
a)8
b)7
c)6
d)5
e)4

Resposta

---

a

[Tassandro]

AngelitaB,
Temos que
[tex3]M=\frac{(1+a)(1-b)(1-c)+(1+b)(1-a)(1-c)+(1+c)(1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)}=\frac{X}{Y}[/tex3]

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[tex3]M=\frac{(1+a)(1-b)(1-c)+(1+b)(1-a)(1-c)+(1+c)(1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)}=\frac{X}{Y}[/tex3]

Vamos às contas
[tex3](1+a)(1-b)(1-c)=1+a-b-c+bc-ab-ac+abc\\
(1+b)(1-a)(1-c)=1+b-a-c+ac-bc-ac+abc\\
(1+c)(1-a)(1-b)=1+c-a-b+ab-bc-ac+abc\\
X=3-a-b-c-ab-bc-ca+3abc[/tex3]

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[tex3](1+a)(1-b)(1-c)=1+a-b-c+bc-ab-ac+abc\\
(1+b)(1-a)(1-c)=1+b-a-c+ac-bc-ac+abc\\
(1+c)(1-a)(1-b)=1+c-a-b+ab-bc-ac+abc\\
X=3-a-b-c-ab-bc-ca+3abc[/tex3]

Por Girard, [tex3]a+b+c=0, ab+bc+ca=-(2+\sqrt2),abc=2[/tex3]

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[tex3]a+b+c=0, ab+bc+ca=-(2+\sqrt2),abc=2[/tex3]

, logo
[tex3]X=3+2+\sqrt2+6=11+\sqrt2[/tex3]

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[tex3]X=3+2+\sqrt2+6=11+\sqrt2[/tex3]

Note que [tex3]Y=P(1)=-3-\sqrt2[/tex3]

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[tex3]Y=P(1)=-3-\sqrt2[/tex3]

[tex3]M=\frac{11+\sqrt2}{-(3+\sqrt2)}=\frac{31-8\sqrt2}{-7}[/tex3]

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[tex3]M=\frac{11+\sqrt2}{-(3+\sqrt2)}=\frac{31-8\sqrt2}{-7}[/tex3]

Assim,
[tex3]\frac{7M+31}{\sqrt2}=\frac{-31+8\sqrt2+31}{\sqrt2}=8[/tex3]

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[tex3]\frac{7M+31}{\sqrt2}=\frac{-31+8\sqrt2+31}{\sqrt2}=8[/tex3]