Olimpíadas(India) Equação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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AngelitaB
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(India) Equação

Mensagem não lida por AngelitaB »

Sabendo que a, b, c e d são raízes da equação [tex3]x^{4}[/tex3] + 4 [tex3]x^{3}[/tex3] - 6 [tex3]x^{2}[/tex3] + 7x- 9-0. Então o valor da expressão (1+a²)(1+b²)(1+c²)(1+d²) é igual a:
a)5
b)6
c)9
d)11
e)13
Resposta

e




rcompany
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Nov 2021 05 16:29

Re: (India) Equação

Mensagem não lida por rcompany »

[tex3]
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)=(-1-a^2)(-1-b^2)(-1-c^2)(-1-d^2)=P(-1)\\
\begin{align}
\text{com: }\\P(x^2)&=(x^2-a^2)(x^2-b^2)(x^2-c^2)(x^2-d^2)\\
&=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\cdot (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)\\
&=\left[x^4\!-\!(\sum_{i=1}^4\!r_i)x^3\!\!+\!(\!\!\!\sum_{1\leqslant i,j\leqslant 4\\i\neq j}\!\!\!r_ir_j)x^2\!\!-\!(\!\!\!\sum_{1\leqslant i,j,k\leqslant 4\\i\neq j\neq k}\!\!\!\!\!r_ir_jr_k)x\!+\!r_1r_2r_3r_4\right]\!\!\cdot\!\! \left[x^4\!+\!(\sum_{i=1}^4\!r_i)x^3\!\!+\!(\!\!\!\sum_{1\leqslant i,j\leqslant 4\\i\neq j}\!\!\!\!r_ir_j)x^2\!\!+\!(\!\!\!\sum_{1\leqslant i,j,k\leqslant 4\\i\neq j\neq k}\!\!\!\!\!r_ir_jr_k)x\!+\!r_1r_2r_3r_4\right]\\
&\quad\quad\text{com }(a,b,c,d)=(r_1,r_2,r_3,r_4)\\
&=(x^4+4x^3-6x^2+7x-9)(x^4-4x^3-6x^2-7x-9)\\
\end{align}\\
\text{e então}\\
\begin{array}{}
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)&=P(i^2)\\
&=(i^4+4i^3-6i^2+7i-9)(i^4-4i^3-6i^2-7i-9)\\
&=(1-4i+6+7i-9)(1+4i+6-7i-9)\\
&=(-2+3i)(-2-3i)\\
&=4+9=13
\end{array}
[/tex3]

Última edição: rcompany (Sex 05 Nov, 2021 19:26). Total de 3 vezes.



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AlexandreHDK
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Re: (India) Equação

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

Vamos trabalhar com a expressão:
[tex3](1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(1+c^2+d^2+c^2d^2)[/tex3]
[tex3]=1+a^2+b^2+a^2b^2+c^2+a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2c^2+d^2+a^2d^2+b^2d^2+a^2b^2d^2+c^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2+a^2b^2c^2d^2[/tex3]
Vamos só reordenar e agrupar alguns termos
[tex3]=1+(a^2+b^2+c^2+d^2)+(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2)+(a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2)+a^2b^2c^2d^2[/tex3]

Relações de Girard para a equação do 4º grau [tex3]x^4+4x^3-6x^2+7x-9=0[/tex3] :
(A) [tex3]a + b + c + d = -4[/tex3]
(B) [tex3]ab + ac + ad + bc + bd + cd = -6[/tex3]
(C) [tex3]abc + abd + acd + bcd = -7[/tex3]
(D) [tex3]abcd = -9[/tex3]

Vamos elevar a primeira relação (A) ao quadrado:
[tex3](a + b + c + d)^2 = (-4)^2[/tex3]
[tex3]a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc +2bd +2cd = 16[/tex3]
OK, podemos usar a relação (B) dentro desta:
[tex3]a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc +bd +cd)= 16[/tex3]
[tex3]a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(-6)= 16[/tex3]
(E) [tex3]a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 28[/tex3]

Vamos elevar a segunda relação (B) ao quadrado (essa vai ser grande):
[tex3](ab + ac + ad + bc + bd + cd)^2= (-6)^2[/tex3]
[tex3]a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2 + 2a^2bc + 2a^2bd + 2ab^2c +2ab^2d+2abcd+2a^2cd+2abc^2+2abcd+2ac^2d+2abcd+2abd^2+2acd^2+2b^2cd+2bc^2d+2bcd^2= 36[/tex3]
Reescrevendo, colocando alguns termos em evidência
[tex3]a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2 + 2a(abc) + 2a(abd) + 2b(abc) +2b(abd)+2b(acd)+2a(acd)+2c(abc)+2a(bcd)+2c(acd)+2c(abd)+2d(abd)+2d(acd)+2b(bcd)+2c(bcd)+2d(bcd)= 36[/tex3]
Aqui já dá para agrupar alguns termos:
[tex3]a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2 + 2(a+b+c)(abc+abd+acd+bcd)+2d(abd)+2d(acd)+2d(bcd)= 36[/tex3]
Está faltando 1 termo 2d(abc) para poder completar, mas podemos somar e subtrair este termo como um artifício:
[tex3]a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2 + 2(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)-2abcd= 36[/tex3]
Agora dá para substituir (A),(C) e (D):
[tex3]a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2 + 2(-4)(-7)-2(-9)= 36[/tex3]
(F) [tex3]a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2 =-38[/tex3]

Vamos pegar a relação (C) e elevar ao quadrado:
[tex3](abc + abd + acd + bcd)^2 = (-7)^2[/tex3]
[tex3]a^2b^2c^2 + a^2b^2d^2 + a^2c^2d^2 + b^2c^2d^2 + 2(ab)(abcd)+2(ac)(abcd)+2(bc)(abcd)+2(ad)(abcd)+2(bd)(abcd)+2(cd)(abcd)= 49[/tex3]
[tex3]a^2b^2c^2 + a^2b^2d^2 + a^2c^2d^2 + b^2c^2d^2 + 2(ab +ac+bc+ad+bd+cd)(abcd) = 49[/tex3]
Opa, apareceram o (B) e o (D) dentro desta relação, vamos substituir:
[tex3]a^2b^2c^2 + a^2b^2d^2 + a^2c^2d^2 + b^2c^2d^2 + 2(-6)(-9) = 49[/tex3]
(G) [tex3]a^2b^2c^2 + a^2b^2d^2 + a^2c^2d^2 + b^2c^2d^2 = -59[/tex3]

Elevando a relação (D) ao quadrado:
(H) [tex3]a^2b^2c^2d^2 = (-9)^2 = 81[/tex3]

Finalmente, vamos pegar as relações (E), (F), (G) e (H) e substituir na primeira expressão
[tex3]1+(a^2+b^2+c^2+d^2)+(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2)+(a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2)+a^2b^2c^2d^2[/tex3]
[tex3]=1+(28)+(-38)+(-59)+81=13[/tex3]

Deu um trabalhão, e se você usar uma calculadora para encontrar as raízes para simplesmente jogar na primeira expressão, encontrará 2 raízes reais bem quebradas e 2 raízes complexas conjugadas também bem quebradas.




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