[tex3]a, b, c, d[/tex3]
são números reais distintos tais que [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
são as raízes da equação [tex3]x^2 – 3cx – 8d = 0[/tex3]
, e [tex3]c[/tex3]
e [tex3]d[/tex3]
são as raízes da equação [tex3]x^2 – 3ax – 8b[/tex3]
[tex3]= 0[/tex3]
.
Calcule a soma [tex3]a + b + c + d[/tex3]
.
Gabarito: 96
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ OBM - Equações do segundo grau
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SkyWalker17
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Nov 2021
03
21:16
Re: OBM - Equações do segundo grau
Olá, SkyWalker17
Quando o enunciado diz que a,b,c e d são raízes, podemos substituir esses valores nas suas respectivas equações.
Daí conseguimos o seguinte:
I) [tex3]a²-3ca-8d [/tex3] III) [tex3]c²-3ac-8b[/tex3]
II) [tex3]b²-3bc-8d[/tex3] IV) [tex3]d²-3ad-8b[/tex3]
Fazendo um sistema da I com II, multiplicando a I por -1,encontramos:
[tex3]b²-a²=3bc-3ac[/tex3]
[tex3](b+a)(b-a)=3c(b-a)[/tex3] corta-se o b-a
[tex3]b+a=3c[/tex3]
Fazendo a mesma coisa com o III e o IV, multiplicando o III por -1,encontramos
[tex3]d²-c²=3da-3ac[/tex3]
[tex3](d+c)(d-c)=3a(d-c)[/tex3] corta-se o d-c
[tex3]d+c=3a[/tex3]
Somando e subtraindo o resultado das duas equações:
[tex3]b+d=2c+2a[/tex3]
[tex3]b-d=4c+4a[/tex3]
Também temos:
[tex3]a²-3ca-8d[/tex3]
[tex3]c²-3ca-8b[/tex3]
Subtraindo as duas:
[tex3]a²-c²-8(d-b)=0[/tex3]
[tex3](a+c)(a-c)=8(d-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(a-c)=8.4(a-c)[/tex3]
[tex3]a+c=32[/tex3]
[tex3]a+b+c+d=a+c+2c+2a=3a+3c=3(a+c)=96[/tex3]
Créditos: Lucas Fermin
Quando o enunciado diz que a,b,c e d são raízes, podemos substituir esses valores nas suas respectivas equações.
Daí conseguimos o seguinte:
I) [tex3]a²-3ca-8d [/tex3] III) [tex3]c²-3ac-8b[/tex3]
II) [tex3]b²-3bc-8d[/tex3] IV) [tex3]d²-3ad-8b[/tex3]
Fazendo um sistema da I com II, multiplicando a I por -1,encontramos:
[tex3]b²-a²=3bc-3ac[/tex3]
[tex3](b+a)(b-a)=3c(b-a)[/tex3] corta-se o b-a
[tex3]b+a=3c[/tex3]
Fazendo a mesma coisa com o III e o IV, multiplicando o III por -1,encontramos
[tex3]d²-c²=3da-3ac[/tex3]
[tex3](d+c)(d-c)=3a(d-c)[/tex3] corta-se o d-c
[tex3]d+c=3a[/tex3]
Somando e subtraindo o resultado das duas equações:
[tex3]b+d=2c+2a[/tex3]
[tex3]b-d=4c+4a[/tex3]
Também temos:
[tex3]a²-3ca-8d[/tex3]
[tex3]c²-3ca-8b[/tex3]
Subtraindo as duas:
[tex3]a²-c²-8(d-b)=0[/tex3]
[tex3](a+c)(a-c)=8(d-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(a-c)=8.4(a-c)[/tex3]
[tex3]a+c=32[/tex3]
[tex3]a+b+c+d=a+c+2c+2a=3a+3c=3(a+c)=96[/tex3]
Créditos: Lucas Fermin
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