OlimpíadasOBM - Equações do segundo grau

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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SkyWalker17
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Nov 2021 03 16:36

OBM - Equações do segundo grau

Mensagem não lida por SkyWalker17 »

[tex3]a, b, c, d[/tex3] são números reais distintos tais que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são as raízes da equação [tex3]x^2 – 3cx – 8d = 0[/tex3] , e [tex3]c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] são as raízes da equação [tex3]x^2 – 3ax – 8b[/tex3] [tex3]= 0[/tex3] .

Calcule a soma [tex3]a + b + c + d[/tex3] .

Gabarito: 96




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Fibonacci13
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Re: OBM - Equações do segundo grau

Mensagem não lida por Fibonacci13 »

Olá, SkyWalker17

Quando o enunciado diz que a,b,c e d são raízes, podemos substituir esses valores nas suas respectivas equações.
Daí conseguimos o seguinte:

I) [tex3]a²-3ca-8d [/tex3] III) [tex3]c²-3ac-8b[/tex3]
II) [tex3]b²-3bc-8d[/tex3] IV) [tex3]d²-3ad-8b[/tex3]

Fazendo um sistema da I com II, multiplicando a I por -1,encontramos:

[tex3]b²-a²=3bc-3ac[/tex3]
[tex3](b+a)(b-a)=3c(b-a)[/tex3] corta-se o b-a

[tex3]b+a=3c[/tex3]

Fazendo a mesma coisa com o III e o IV, multiplicando o III por -1,encontramos
[tex3]d²-c²=3da-3ac[/tex3]

[tex3](d+c)(d-c)=3a(d-c)[/tex3] corta-se o d-c

[tex3]d+c=3a[/tex3]

Somando e subtraindo o resultado das duas equações:


[tex3]b+d=2c+2a[/tex3]

[tex3]b-d=4c+4a[/tex3]

Também temos:

[tex3]a²-3ca-8d[/tex3]

[tex3]c²-3ca-8b[/tex3]

Subtraindo as duas:

[tex3]a²-c²-8(d-b)=0[/tex3]

[tex3](a+c)(a-c)=8(d-b)[/tex3]

[tex3](a+c)(a-c)=8.4(a-c)[/tex3]

[tex3]a+c=32[/tex3]

[tex3]a+b+c+d=a+c+2c+2a=3a+3c=3(a+c)=96[/tex3]

Créditos: Lucas Fermin



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