Olimpíadas(Peru) Equação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Eduardo071
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(Peru) Equação

Mensagem não lida por Eduardo071 »

Se o produto de duas raízes da equação [tex3]x^{4}[/tex3] + a [tex3]x^{3}[/tex3] + b [tex3]x^{2}[/tex3] + cx + d=0 é igual ao produto das outras duas, então vale a relação:
a)a²=c².d
b)b²=a.c²
c)c²=a².d
d)b²=a².d
e)c²=b².d
Resposta

d




rcompany
2 - Nerd
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Nov 2021 07 12:03

Re: (Peru) Equação

Mensagem não lida por rcompany »

[tex3]
P(x)\!=x^4\!\!+\!ax^3\!\!+\!bx^2\!\!+\!cx\!+\!d=(x\!-\!r_1)(x\!-\!r_2)(x\!-\!r_3)(x\!-\!r_4)\quad\text{com }r_1,r_2,r_3,r_4\text{ raízes de }P(x)\!=\!0\text{ e }r_1r_2\!=\!r_3r_4\!=\!r\\
\text{Temos:}\\
a=-(r_1+r_2+r_3+r_4)\\
c=-(r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4)=-(rr_3+rr_4+rr_1+rr_2)=-r(r_1+r_2+r_3+r_4)=ra\\
\text{e então }c^2=r^2a^2=da^2\quad\text{já que }d=r_1r_2\cdot r_3r_4=r^2\\[12pt]
\boxed{\ \\[3pt]\hspace{1cm}c^2=da^2\hspace{1cm}\\}
[/tex3]

Exemplo:
[tex3]
P(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)\quad\text{com }2\times6=3\times 4=12\\[12pt]
P(x)=x^4-15x^3+80x^2-180x+144\\
c^2=180^2=2^43^45^2\\
da^2=144\times15^2=2^43^2\cdot3^25^2=2^43^45^2=c^2

[/tex3]

Gabarito errado

Dá para verificar no exemplo acima:

[tex3]
b^2=80^2=2^85^2\\
da^2=2^43^45^2\neq b^2
[/tex3]

Última edição: rcompany (Dom 07 Nov, 2021 12:25). Total de 2 vezes.



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